Sottospazi di Hilbert e complementi ortogonali
Ciao a tutti!
Volevo chiedere, se possibile, un aiuto per una questione che sto cercando di dimostrare.
Il problema è il seguente:
Sia $M$ un sottoinsieme dello spazio di Hilbert $H$ e sia $M^\bot={\psi in H | <\psi,\varphi> =0 AA \varphi in M}$ il suo complemento ortogonale.
1) Dimostrare che $M^\bot$ è un sottospazio vettoriale chiuso di $H$
2) Dimostrare che $\bar (span(M))^\bot = M^\bot$ e che $(M^\bot)^\bot = \bar (span(M))$
Dimostrare che è un sottospazio vettoriale direi che è abbastanza banale, invece per dimostrare che è chiuso ho proceduto in questo modo (correggetemi se sbaglio) :
credo che sia sufficiente verificare che dato $w in H$ l'insieme $W={x in H | = 0 }$ è chiuso. Infatti posso vedere il complemento ortogonale di $M$ come $M^\bot = nn{ = 0 AA m in M}$ e l'intersezione di chiusi è ancora un chiuso.
Ma $W = Ker(L)$ dove $L$ è un operatore lineare tale che $L(x) =$. Se $L$ è continuo, allora $Ker(L)$ è chiuso.
Verifico quindi che $L$ è continuo:
data una successione $(x_k)_(k in NN)$ nello spazio $H$ tale che $x_k \to x$ quando $k \to \infty$ ho che
$| L(x_k) - L(x) | = | - | = | | <= | x_k - x | | w |$ che tende a $0$ quando $k \to \infty$.
Dite che può andare o c'è qualche errore?
Per il secondo punto invece sono proprio in alto mare..se qualcuno mi potesse indirizzare, almeno per risolvere la prima uguaglianza, gliene sarei grata! Sono due giorni che provo senza arrivare a nulla di concreto..
Spero di essermi espressa abbastanza chiaramente..
Grazie!
Volevo chiedere, se possibile, un aiuto per una questione che sto cercando di dimostrare.
Il problema è il seguente:
Sia $M$ un sottoinsieme dello spazio di Hilbert $H$ e sia $M^\bot={\psi in H | <\psi,\varphi> =0 AA \varphi in M}$ il suo complemento ortogonale.
1) Dimostrare che $M^\bot$ è un sottospazio vettoriale chiuso di $H$
2) Dimostrare che $\bar (span(M))^\bot = M^\bot$ e che $(M^\bot)^\bot = \bar (span(M))$
Dimostrare che è un sottospazio vettoriale direi che è abbastanza banale, invece per dimostrare che è chiuso ho proceduto in questo modo (correggetemi se sbaglio) :
credo che sia sufficiente verificare che dato $w in H$ l'insieme $W={x in H |
Ma $W = Ker(L)$ dove $L$ è un operatore lineare tale che $L(x) =
Verifico quindi che $L$ è continuo:
data una successione $(x_k)_(k in NN)$ nello spazio $H$ tale che $x_k \to x$ quando $k \to \infty$ ho che
$| L(x_k) - L(x) | = |
Dite che può andare o c'è qualche errore?
Per il secondo punto invece sono proprio in alto mare..se qualcuno mi potesse indirizzare, almeno per risolvere la prima uguaglianza, gliene sarei grata! Sono due giorni che provo senza arrivare a nulla di concreto..
Spero di essermi espressa abbastanza chiaramente..
Grazie!
Risposte
Per la prima delle 2 puoi ragionare così.
Se [tex]$\psi \in M^\bot$[/tex] allora per ogni [tex]$\phi \in M$[/tex] si ha [tex]$\langle \psi ,\phi \rangle =0$[/tex]; per la linearità del prodotto scalare comunque fissi [tex]$x\in \text{span } M$[/tex] si ha [tex]$\langle \psi ,x\rangle =0$[/tex]; per continuità del prodotto scalare per ogni [tex]$\xi \in \overline{\text{span } M}$[/tex] hai [tex]$\langle \psi,\xi \rangle =0$[/tex]; ergo [tex]$M^\bot \subseteq (\overline{\text{span } M})^\bot$[/tex].
L'inclusione inversa è ovvia, perchè [tex]$M\subseteq \overline{\text{span } M}$[/tex] (dunque ogni [tex]$\psi$[/tex] tale che il funzionale [tex]$\langle \psi, \cdot \rangle$[/tex] è nullo su [tex]$\overline{\text{span } M}$[/tex] è pure nullo su [tex]$M$[/tex]).
Per la seconda, l'inclusione [tex]$M\subseteq (M^\bot)^\bot$[/tex] è ovvia, per l'altra c'è da tenere presente qualche proprietà dei sottospazi chiusi...
Oppure potrebbe funzionare così: per contrapposizione basta mostrare che [tex]$H\setminus M\subseteq H\setminus (M^\bot)^\bot$[/tex]; prendiamo [tex]$\phi \notin M$[/tex]; allora esiste un [tex]$\eta \in M^\bot$[/tex] tale che [tex]$\langle \eta ,\phi\rangle \neq 0$[/tex] (ciò, se non vedo male, discende dal teorema di Hahn-Banach), quindi [tex]$\phi \notin (M^\bot)^\bot$[/tex] (perchè altrimenti dovrebbe risultare [tex]$\langle \psi ,\phi \rangle=0$[/tex] per ogni [tex]$\psi \in M^\bot$[/tex], quindi anche per [tex]$\psi=\eta$[/tex]), come volevamo.
Se [tex]$\psi \in M^\bot$[/tex] allora per ogni [tex]$\phi \in M$[/tex] si ha [tex]$\langle \psi ,\phi \rangle =0$[/tex]; per la linearità del prodotto scalare comunque fissi [tex]$x\in \text{span } M$[/tex] si ha [tex]$\langle \psi ,x\rangle =0$[/tex]; per continuità del prodotto scalare per ogni [tex]$\xi \in \overline{\text{span } M}$[/tex] hai [tex]$\langle \psi,\xi \rangle =0$[/tex]; ergo [tex]$M^\bot \subseteq (\overline{\text{span } M})^\bot$[/tex].
L'inclusione inversa è ovvia, perchè [tex]$M\subseteq \overline{\text{span } M}$[/tex] (dunque ogni [tex]$\psi$[/tex] tale che il funzionale [tex]$\langle \psi, \cdot \rangle$[/tex] è nullo su [tex]$\overline{\text{span } M}$[/tex] è pure nullo su [tex]$M$[/tex]).
Per la seconda, l'inclusione [tex]$M\subseteq (M^\bot)^\bot$[/tex] è ovvia, per l'altra c'è da tenere presente qualche proprietà dei sottospazi chiusi...
Oppure potrebbe funzionare così: per contrapposizione basta mostrare che [tex]$H\setminus M\subseteq H\setminus (M^\bot)^\bot$[/tex]; prendiamo [tex]$\phi \notin M$[/tex]; allora esiste un [tex]$\eta \in M^\bot$[/tex] tale che [tex]$\langle \eta ,\phi\rangle \neq 0$[/tex] (ciò, se non vedo male, discende dal teorema di Hahn-Banach), quindi [tex]$\phi \notin (M^\bot)^\bot$[/tex] (perchè altrimenti dovrebbe risultare [tex]$\langle \psi ,\phi \rangle=0$[/tex] per ogni [tex]$\psi \in M^\bot$[/tex], quindi anche per [tex]$\psi=\eta$[/tex]), come volevamo.
ti ringrazio!
"gugo82":Gugo, mi sa che devi richiedere esplicitamente $\phi \notin \bar{M}$, perché non vedo da nessuna parte la condizione "$M$ è chiuso".
prendiamo [tex]$\phi \notin M$[/tex]; allora esiste un [tex]$\eta \in M^\bot$[/tex] tale che [tex]$\langle \eta ,\phi\rangle \neq 0$[/tex]
"dissonance":Gugo, mi sa che devi richiedere esplicitamente $\phi \notin \bar{M}$, perché non vedo da nessuna parte la condizione "$M$ è chiuso".[/quote]
[quote="gugo82"]prendiamo [tex]$\phi \notin M$[/tex]; allora esiste un [tex]$\eta \in M^\bot$[/tex] tale che [tex]$\langle \eta ,\phi\rangle \neq 0$[/tex]
E forse hai ragione.
La chiusura l'avevo "trasportata" dal punto 1: infatti se rileggi tutto, la dimostrazione funziona se [tex]$M$[/tex] è un sottospazio chiuso... Però ciò non è quello che chiedeva il problema, perchè si chiedeva di dimostrare che [tex]$(M^\bot)^\bot =\overline{\text{span }M}$[/tex] mica che [tex]$(M^\bot)^\bot =M$[/tex]!
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