Sottoinsiemi misurabili secondo Peano-Jordan

[Nausicaa912]

è così scritto:

Sia X un sottinsieme di $RR^2$ limitato e tale che l'insieme dei punti interni è vuoto. X è misurabile secondo Peano.Jordan se e solo se
$AA\epsilon>0 EE P',P'' in P : P' sube P sube P''$ e $m(P'')-m(P')< epsilon$
Sinceramente, non mi è molto chiaro... E' una caratterizzazione degli insiemi contigui in realtà che non mi è chiara... QUalcuno me la potrebbe spiegare con parole più spendibili? Grazie.

[gugo82]

Due insiemi [tex]$A,B$[/tex] tali che [tex]$\forall a\in A, \forall b\in B,\ a\leq b$[/tex] si dicono separati; se risulta pure:

[tex]$\forall \varepsilon >0,\ \exists a^\prime \in A, \exists b^\prime \in B:\ b^\prime-a^\prime <\varepsilon$[/tex]

allora [tex]$A$[/tex] e [tex]$B$[/tex] si dicono contigui.

Nel tuo caso:

[tex]$A:=\{ m(P),\ \text{con $P$ plurirettangolo $\subseteq X$}\}$[/tex] e [tex]$B:=\{ m(P),\ \text{con $P$ plurirettangolo $\supseteq X$}\}$[/tex],

ed [tex]$X$[/tex] è P-J misurabile, per definizione, solo se [tex]$A,B$[/tex] sono contigui.

Questo basta per dirimere la questione.

[Nausicaa912]

Ma che vuol dire, concettualmente, quella scrittora con epsilon? Cioè, posso sempre trovare un numero positivo piccolo a piacere per cui la differenza degli elementi è minore... ma non capisco perchè sia equivalente alla scrittura $"sup"A="inf"B$
Scusa per l'imbrantaggine! XD

[gugo82]

Prova a fare una dimostrazione dell'equivalenza [tex]$\sup A=\inf B\ \Leftrightarrow \ \text{vale la condizione con $\varepsilon$}$[/tex], non ci vuole tanto: basta usare la disuguaglianza trinagolare e qualche manipolazione algebrica.

[Nausicaa912]

sì sì ci sono arrivata
Avrei un ultimo dubbio... Ma Il teorema della continuità dell'integrale... a cosa serve? Non ho capito perché si chiami così.

[gugo82]

A quale teorema ti riferisci?
Scrivine l'enunciato, così non ci sono ambiguità.

[Nausicaa912]

sia $f in C^0([a,b], RR)$. Qualunque sia $epsilon>0$ esiste un $delta_(epsilon)>0$ tale che qualunque sia $[a_1,b_1] subseteq [a,b]$, se $b_1-a_1 allora
$|\int f(x)dx|

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