Sottoinsieme di uno spazio completo

[poncelet]

Devo dimostrare che un sottoinsieme chiuso di uno spazio metrico completo è completo.

Sia $X$ uno spazio metrico completo e sia $B sub X$ un suo sottoinsieme chiuso con la metrica indotta da $X$. Consideriamo una successione di Cauchy ${a_n}$ a valori in $B$. Essa sarà convergente in $X$ in quanto completo. Siccome $B$ è chiuso avremo che il limite di tale successione deve stare in $B$ e quindi anche $B$ è completo.
Non sono sicuro di questa dimostrazione. Ho utilizzato questo risultato: un sottoinsieme di $RR^N$ è chiuso se e solo se presa una successione a valori nel sottoinsieme e convergente in $RR^N$ allora il suo limite sta nel sottoinsieme. Non sono però sicuro che valga in uno spazio metrico qualsiasi.

[_prime_number]

Va bene. La successione $a_n \to a\in X$, che significa che ogni intorno forato (cioè senza il punto $a$) di $a$ contiene infiniti termini della successione, dunque in particolare ogni intorno di $a$ ha intersezione non vuota con $B$. Questo fa di $a$ un punto di accumulazione (è proprio la definizione) ed essendo $B$ chiuso, esso deve contenere tutti i punti di accumulazione delle proprie sequenze.

Paola

[poncelet]

Grazie per la risposta.