Sottoinsieme aperto e sottoinsieme chiuso
Buongiorno!
Visto che lunedì ho il primo appello di Analisi, stavo dando una carrellata agli esercizi dei compiti passati ed ho trovato questo:
Sia A un sottoinsieme aperto di R ed $ x_0 $ un punto di A. L'insieme A \ $ {x_0} $ è necessariamente aperto?
Sia C un sottoinsieme chiuso di R ed $ y_0 $ un punto di C. L'insieme A \ $ {y_0} $ è necessariamente chiuso?
Intuitivamente mi sento di rispondere di si ad entrambi i quesiti, ma non so come impostare il tutto
Grazie in anticipo
Visto che lunedì ho il primo appello di Analisi, stavo dando una carrellata agli esercizi dei compiti passati ed ho trovato questo:
Sia A un sottoinsieme aperto di R ed $ x_0 $ un punto di A. L'insieme A \ $ {x_0} $ è necessariamente aperto?
Sia C un sottoinsieme chiuso di R ed $ y_0 $ un punto di C. L'insieme A \ $ {y_0} $ è necessariamente chiuso?
Intuitivamente mi sento di rispondere di si ad entrambi i quesiti, ma non so come impostare il tutto
Grazie in anticipo
Risposte
Prendi \( [0,1]\), che è chiuso (nella topologia indotta dalla norma euclidea); \( [0,1/2) \cup ( 1/2,1]\) è ancora chiuso?
"Delirium":
Prendi \( [0,1]\), che è chiuso (nella topologia indotta dalla norma euclidea); \( [0,1/2) \cup ( 1/2,1]\) è ancora chiuso?
Se rispondo "SI" dico una fesseria...?
L'appello è lunedì, manca poco tempo, io direi di fare una bella ripassata di teoria...
Un modo per realizzare che la tua risposta è sbagliata è il seguente: prendi la successione \(a_n = 1/2 + 1/n \). Chiaramente si ha \(a_n \in C=[0,1/2) \cup (1/2,1]\) per ogni \(n \in \mathbb{N}\); inoltre \( a_n \to 1/2\) per \(n \to \infty\). Quindi \(1/2\) appartiene alla chiusura di \(C\). Ne segue che \(C\) non può essere chiuso.
"Delirium":
Un modo per realizzare che la tua risposta è sbagliata è il seguente: prendi la successione \(a_n = 1/2 + 1/n \). Chiaramente si ha \(a_n \in C=[0,1/2) \cup (1/2,1]\) per ogni \(n \in \mathbb{N}\); inoltre \( a_n \to 1/2\) per \(n \to \infty\). Quindi \(1/2\) appartiene alla chiusura di \(C\). Ne segue che \(C\) non può essere chiuso.
Grazie mille, questo punto mi è chiaro.
Potresti illuminarmi per quanto riguarda il caso dell'insieme aperto?
Ti ringrazio per la gentilezza e la disponibilità
Dato \( (X,d)\) spazio metrico (se la scrittura ti confonde, assumi pure che \(X = \mathbb{R}\) e \(d\) sia la ben nota distanza euclidea), diciamo che \(A \subseteq X\) è aperto se per ogni \(x \in A\) esiste \(r>0\) tale che \(B_r(x) \subset A\).
Torniamo a noi: sia \(A \subseteq \mathbb{R} \) un aperto (nella topologia indotta dalla metrica euclidea), e sia \(x_0 \in A\). Consideriamo quindi \(A \setminus \{ x_0 \} \). Preso \(x \in A\), per la definizione di aperto esisterà \(r_x > 0 \) tale che \(B_{r_x} (x) \subset A\); ora, se \( x_0 \notin B_{r_x} (x)\) siamo a posto. Altrimenti basta prendere \(r_x ' \) tale che \( r_x ' < |x - x_0|< r_x \) e considerare \( B_{r_x '}(x) \subset B_{r_x }(x)\). Ne segue che anche \(A \setminus \{ x_0 \} \) è aperto.
Torniamo a noi: sia \(A \subseteq \mathbb{R} \) un aperto (nella topologia indotta dalla metrica euclidea), e sia \(x_0 \in A\). Consideriamo quindi \(A \setminus \{ x_0 \} \). Preso \(x \in A\), per la definizione di aperto esisterà \(r_x > 0 \) tale che \(B_{r_x} (x) \subset A\); ora, se \( x_0 \notin B_{r_x} (x)\) siamo a posto. Altrimenti basta prendere \(r_x ' \) tale che \( r_x ' < |x - x_0|< r_x \) e considerare \( B_{r_x '}(x) \subset B_{r_x }(x)\). Ne segue che anche \(A \setminus \{ x_0 \} \) è aperto.
"Delirium":
Dato \( (X,d)\) spazio metrico (se la scrittura ti confonde, assumi pure che \(X = \mathbb{R}\) e \(d\) sia la ben nota distanza euclidea), diciamo che \(A \subseteq X\) è aperto se per ogni \(x \in A\) esiste \(r>0\) tale che \(B_r(x) \subset A\).
Torniamo a noi: sia \(A \subseteq \mathbb{R} \) un aperto (nella topologia indotta dalla metrica euclidea), e sia \(x_0 \in A\). Consideriamo quindi \(A \setminus \{ x_0 \} \). Preso \(x \in A\), per la definizione di aperto esisterà \(r_x > 0 \) tale che \(B_{r_x} (x) \subset A\); ora, se \( x_0 \notin B_{r_x} (x)\) siamo a posto. Altrimenti basta prendere \(r_x ' \) tale che \( r_x ' < |x - x_0|< r_x \) e considerare \( B_{r_x '}(x) \subset B_{r_x }(x)\). Ne segue che anche \(A \setminus \{ x_0 \} \) è aperto.
Grazie mille, adesso è tutto chiaro!!!
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