Sottoinsieme

[Sk_Anonymous]

salve, vi sottopongo la mia risoluzione del seguente esercizio; spero possiate correggere eventuali errori, in quanto non ho la certezza che il metodo usato sia corretto:

Determinare il sottoinsieme $ X $ di $ RR $ definito da:
$ X := {x in RR : 1/(ln(1-x)^2) leq 1 } $
dire se l'insieme $ X $ è limitato, aperto, chiuso, compatto.

il mio svolgimento:
$ 1/(ln(1-x)^2)leq 1 $

$ ln(1-x)^2 geq 1 $

$ 2ln(1-x) geq 1 $

$ 2ln(1-x-1) geq 0 $

$ ln(-x)^2 geq 0 $

$ ln x^2 geq 0 $ che è soddisfatta per $ AA x in RR $

proprietà fondamentali del log:
$ e^0 geq x^2 $ $ -> -1 leq x leq 1 $

il sottoinsieme := $ [-1, 1] $ è limitato, sup = max = +1 e inf = min = -1
ed è compatto in quanto chiuso e limitato.

[blackbishop13]

ci sono un mare di erroracci e dimenticanze.
primo: si fanno le condizioni di esistenza.

"12Aquila":
$ 1/(ln(1-x)^2)leq 1 $

$ ln(1-x)^2 geq 1 $

ma da quando? non è mica detto che quel logaritmo sia sempre positivo!

"12Aquila":$ 2ln(1-x) geq 1 $

ci vorrebbe un valore assoluto..

"12Aquila":
$ 2ln(1-x-1) geq 0 $

passaggio inconcepibile...

"12Aquila":
$ ln x^2 geq 0 $ che è soddisfatta per $ AA x in RR $

questo è decisamente falsissimo!!!

"12Aquila":proprietà fondamentali del log:
$ e^0 geq x^2 $ $ -> -1 leq x leq 1 $

cosa c'entra questo con i logaritmi???

io ti direi di rifare tutto...

[Sk_Anonymous]

grazie per la risposta,
ero rimasto bloccato ed ho cercato un modo per andare avanti ed in effetti ho combinato un pasticcio con i calcoli.
vorrei capire come affrontare questo tipo esercizi,
ho pensato che il sottoinsieme cercato deve essere costituito dai valori di x che rendono la frazione <= 1 quindi le soluzioni della disequazione costituiscono l'insieme cercato?

[pater46]

Direi che blackbishop ha evidenziato più che bene la situazione

Quello che devi dire subito, è che la tua condizione non è definita in $ x = 0 $. Poi puoi procedere... Tenendo a mente che:

1) $ log_\alpha f(x) > 0 $ se $ \alpha > 1 & f(x) > 1 $ oppure se $0 < \alpha < 1 & 0 < x < 1 $

2) Prima di moltiplicare i membri di una disequazione per un fattore, devi prestare attenzione al segno di tale fattore e suddividere i due casi.

3) $ 1 = ln e $ e così eviti erroracci come quello che hai fatto prima ( vedi $ ln ( 1 - x - 1 ) $ )

4) ( Ti servirà dopo ) $ ln a - ln b = ln ( a / b ) $

[Sk_Anonymous]

grazie, i tuoi consigli sono molto utili

PS: sto preparando la matematica da solo, per questo riscontro diversi problemi,
spero comprendiate

[Sk_Anonymous]

ho provato a procedere nel seguente modo:

Condiz di esistenza: denom $ != $ 0, argomento logaritmo $ > 0 $ quindi $ (1-x)^2> 0 $, risolvendo la diseq (dopo aver sviluppato il quadrato di binomio) ha 2soluzioni coincidenti = -1, poi:
$ 1/(ln(1-x)^2)leq 1 $

$ ln(1-x)^2 geq 1 $
(in alternativa potrei usare: $ 1/(log_x a) = log_a x $ )

$ ln(1-x)^2 geq ln e $

$ (1-x)^2 geq e $

$ x^2+2x +1 geq e $

arrivato a questo punto dovrei risolvere la diseq, e le soluz mi definiscono il sottoinsieme che cerco?

[blackbishop13]

hai sbagliato le seguenti cose poco importanti:
$1$ è il valore da escludere, non $-1$ è evidente.
$(1-x)^2=x^2-2x+1$ e non $x^2+2x+1$ come dici.

e l'errore che invece compromette tutto l'esercizio, che infatti è sbagliato, è che hai considerato il logaritmo sempre positivo, mentre non lo è, e quindi non puoi moltiplicare in una disuguaglianza così tranquillamente.

[Sk_Anonymous]

grazie mille per le correzioni,
mi rimangono solo due perplessità:
ti sarei ulteriormente grato se mi potresti chiarire questo punto,

"blackbishop13": hai considerato il logaritmo sempre positivo, mentre non lo è, e quindi non puoi moltiplicare in una disuguaglianza così tranquillamente.

ovvero come posso rimediare al log sempre positivo? (è per il $>=$?)

ed infine:

"12Aquila":$ x^2-2x +1 geq e $
arrivato a questo punto, le soluzioni della disequazione mi definiscono il sottoinsieme che cerco?

la dovrei risolvere come una normale disequazione? ed infine avere X := {x € IR : soluzioneDiseq?}

grazie