Sottografico di una funzione concava
Ciao ragazzi. Qualche giorno fa il mio Professore scrisse, parlando dei sottoinsiemi convessi di uno spazio normato,
Ho provato a dimostrare questa affermazione, ma non ho utilizzato la continuità (che, tra l'altro, potrebbe essere determinante solo per i punti del bordo di $I$, giacché, essendo concava, $f$ è continua in $I^\circ$).
Fissati due punti ad minchiam in $\Gamma$, diciamo $P_1=(x_1,y_1)$ e $P_2=(x_2,y_2)$, c'è da provare che
\[[P_1,P_2]:=\{tP_1+(1-t)P_2\,|\, 0\le t\le 1\}\subseteq \Gamma\]
Scelgo quindi $P=(x,y)$ in $[P_1,P_2]$; dovrà esistere un $t\in [0,1]$ per cui
\[P=tP_1+(1-t)P_2\]
ovvero
\[x=tx_1+(1-t)x_2\qquad y=ty_1+(1-t)y_2\]
Voglio dimostrare che $x\in I$ e $0\le y\le f(x)$. Di fatto si ha (possiamo supporre $x_1
e poi
\[0\stackrel{\text{ovvio}}{\le}y=ty_1+(1-t)y_2\stackrel{P_1,P_2\in \Gamma}{\le}tf(x_1)+(1-t)f(x_2)\stackrel{f\ \text{concava}}{\le }f(tx_1+(1-t)x_2)=f(x)\]
Dunque $P\in \Gamma$, e dalla generalità di $P$ segue $[P_1,P_2]\subseteq \Gamma$.
A meno di non aver preso un grosso abbaglio, non mi pare di aver utilizzato in alcun modo il fatto che $f$ è continua. E poi, anche facendo un paio di disegnini pare proprio che la continuità su $\partial I$ sia superflua
Dico bene?
Sia $I\subseteq RR$ un intervallo, $f:I\to RR$ concava, continua e non negativa. Allora l'insieme
\[\Gamma:=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\,|\, x\in I,\, 0\le y\le f(x)\}\]
è un sottoinsieme convesso di $RR^2$.
Ho provato a dimostrare questa affermazione, ma non ho utilizzato la continuità (che, tra l'altro, potrebbe essere determinante solo per i punti del bordo di $I$, giacché, essendo concava, $f$ è continua in $I^\circ$).
Fissati due punti ad minchiam in $\Gamma$, diciamo $P_1=(x_1,y_1)$ e $P_2=(x_2,y_2)$, c'è da provare che
\[[P_1,P_2]:=\{tP_1+(1-t)P_2\,|\, 0\le t\le 1\}\subseteq \Gamma\]
Scelgo quindi $P=(x,y)$ in $[P_1,P_2]$; dovrà esistere un $t\in [0,1]$ per cui
\[P=tP_1+(1-t)P_2\]
ovvero
\[x=tx_1+(1-t)x_2\qquad y=ty_1+(1-t)y_2\]
Voglio dimostrare che $x\in I$ e $0\le y\le f(x)$. Di fatto si ha (possiamo supporre $x_1
e poi
\[0\stackrel{\text{ovvio}}{\le}y=ty_1+(1-t)y_2\stackrel{P_1,P_2\in \Gamma}{\le}tf(x_1)+(1-t)f(x_2)\stackrel{f\ \text{concava}}{\le }f(tx_1+(1-t)x_2)=f(x)\]
Dunque $P\in \Gamma$, e dalla generalità di $P$ segue $[P_1,P_2]\subseteq \Gamma$.
A meno di non aver preso un grosso abbaglio, non mi pare di aver utilizzato in alcun modo il fatto che $f$ è continua. E poi, anche facendo un paio di disegnini pare proprio che la continuità su $\partial I$ sia superflua
Dico bene?
Risposte
[img]http://t3.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcT1WYOZ3BIjIPqRSJStSscg1hZwxtjEfFItBue-IDm65LoaCwZx_Q[/img] 
ProfessoreEh la Peppa! E chi è, il Papa?
PS: Questo esercizio è una minchiata, dai. E' chiaro che la continuità serve solo per i puntini sul bordo. Capirai
"dissonance":ProfessoreEh la Peppa! E chi è, il Papa?
E' uno dei pochi che si merita la maiuscola, a mio parere (e non solo) 
PS: Questo esercizio è una minchiata, dai. E' chiaro che la continuità serve solo per i puntini sul bordo. Capirai
Che sia una minchiata è assodato
La questione era: questa continuità sui puntini del bordo serve davvero? E io credo proprio di no.
La continuità su \(\partial I\) è effettivamente superflua... Ma anche la continuità in \(I\) è superflua, se vogliamo dirla tutta.
Infatti, si dimostra che una funzione tutta concava o tutta convessa in \(I\) è necessariamente continua internamente ad \(I\).
Infatti, si dimostra che una funzione tutta concava o tutta convessa in \(I\) è necessariamente continua internamente ad \(I\).
Ciao Gugo
Sì, qui c'ero, l'ho scritto su
"gugo82":
Ma anche la continuità in \(I\) è superflua, se vogliamo dirla tutta.
Infatti, si dimostra che una funzione tutta concava o tutta convessa in \(I\) è necessariamente continua internamente ad \(I\).
Sì, qui c'ero, l'ho scritto su
@ Plepp: Non l'avevo letto... Chiedo venia. 
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