Sottigliezza convergenza Identità approssimate
Ciao stavo dimostando un pò di teoremi sulle identità approssimate, e sono arrivato ad un punto morto circa una sottigliezza sulle convergenze.
Se definiamo $h_n$ una successione di funzioni in $L^1(RR)$ con le seguenti proprietà
i)$ h_n(x)>=0 $ per ogni $ x, n$
ii)$ int_(-infty)^(+infty) h_n(t) dt=1 $ per ogni $ n$
iii)$ lim_n ( int_(-infty)^(-sigma) h_n(t) dt + int_(+sigma)^(+infty) h_n(t) dt) =0$ con $sigma>0$
Grazie ad un teorema so che se $f$ uniformemente continua e limitata:
$lim_n ||h_n*f-f||_L^1=0$ (con * è inteso il prodotto di convoluzione)
In più però c'è anche convergenza puntuale, se non sbaglio la convergenza puntuale rimane verificata anche se si assume solamente la continuità della funzione $f$, sono fuori strada? qualche idea?
Se definiamo $h_n$ una successione di funzioni in $L^1(RR)$ con le seguenti proprietà
i)$ h_n(x)>=0 $ per ogni $ x, n$
ii)$ int_(-infty)^(+infty) h_n(t) dt=1 $ per ogni $ n$
iii)$ lim_n ( int_(-infty)^(-sigma) h_n(t) dt + int_(+sigma)^(+infty) h_n(t) dt) =0$ con $sigma>0$
Grazie ad un teorema so che se $f$ uniformemente continua e limitata:
$lim_n ||h_n*f-f||_L^1=0$ (con * è inteso il prodotto di convoluzione)
In più però c'è anche convergenza puntuale, se non sbaglio la convergenza puntuale rimane verificata anche se si assume solamente la continuità della funzione $f$, sono fuori strada? qualche idea?
Risposte
Se le $h_n$ sono almeno continue, direi che la convergenza puntuale si ha in tutti i punti di Lebesgue di $f$; se $f$ è continua si ha dunque in tutti i punti.
(In genere le $h_n$ si prendono di classe $C^{\infty}$ e a supporto compatto.)
(In genere le $h_n$ si prendono di classe $C^{\infty}$ e a supporto compatto.)
Ti ringrazio per la risposta!
Per cui il fatto che le $h_n$ siano continue, funge da deterrente per l'ipotesi di uniforme continuità.
come è dimostrabile?
Per cui il fatto che le $h_n$ siano continue, funge da deterrente per l'ipotesi di uniforme continuità.
come è dimostrabile?
La mia impressione (ma dovrei pensarci un attimo in più per averne la certezza) è che l'ipotesi di uniforme continuità sia stata usata proprio a causa del fatto che non c'è la richiesta di supporto compatto per le $h_n$ (e non ha di per se influenza sulla regolarità del prodotto di convoluzione).
Infatti, senza tale ipotesi, se $f$ cresce molto rapidamente all'infinito l'integrale di convoluzione potrebbe non convergere (questo indipendentemente dal fatto che le $h_n$ siano continue o meno).
Tale problema, ovviamente, non esiste se le $h_n$ sono a supporto compatto (come generalmente si assume).
Detto questo, non mi è chiaro cosa intendi con "funge da deterrente per l'ipotesi di uniforme continuità".
Infatti, senza tale ipotesi, se $f$ cresce molto rapidamente all'infinito l'integrale di convoluzione potrebbe non convergere (questo indipendentemente dal fatto che le $h_n$ siano continue o meno).
Tale problema, ovviamente, non esiste se le $h_n$ sono a supporto compatto (come generalmente si assume).
Detto questo, non mi è chiaro cosa intendi con "funge da deterrente per l'ipotesi di uniforme continuità".
Si intendevo semplicemente, che si aggiunge l'ipotesi di continuità alle $h_n$ al teorema, si può togliere quella di uniforme continuità alle $f$.
Hai ragione il supporto compatto non viene richiesto, ma solo che tendano $0$ tranne che ad un intorno di $0$, quindi pensavo ai nuclei come quello di Fejer.
Comunnque escludendo il caso in cui le $h_n$ siano a supporto compatto, che giustamente si salta il problema,
penso che sia proprio come dici tu, mi suona il fatto che le $f$ con uniforme continuità possano garantire in qualche modo,
che il prodotto di convoluzioni con le $h_n$ continue converga.
Adesso appena riesco provo a dimostrarlo rigorosamente,
grazie per l'aiuto!:)
(ps: magari riesci a darmi una mano sul post "convergenza distribuzionale"?)
Hai ragione il supporto compatto non viene richiesto, ma solo che tendano $0$ tranne che ad un intorno di $0$, quindi pensavo ai nuclei come quello di Fejer.
Comunnque escludendo il caso in cui le $h_n$ siano a supporto compatto, che giustamente si salta il problema,
penso che sia proprio come dici tu, mi suona il fatto che le $f$ con uniforme continuità possano garantire in qualche modo,
che il prodotto di convoluzioni con le $h_n$ continue converga.
Adesso appena riesco provo a dimostrarlo rigorosamente,
grazie per l'aiuto!:)
(ps: magari riesci a darmi una mano sul post "convergenza distribuzionale"?)
Intanto ho avuto la conferma che l'uniforme continuità assicura la continuità delle traslazioni in $L^1$,
indispensabili per il prodotto di convoluzione.
indispensabili per il prodotto di convoluzione.
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