Sostituzione variabile integrale definito
salve,
vi chiedo se è giusto questo procedimento, e se aggiungereste o correggereste qualcosa
voglio risolvere un integrale del tipo: $ int_(z1)^(z2) dz/gx $
dove g e x sono variabili; sapendo che: $ dz/g )=kx^2 $
dove k è una costante, procedo calcolando il differenziale del prodotto $ kx^2 $ che è $ d(kx^2)=2kxdx $
in modo da risolvere l'integrale cosi: $ int_(z1)^(z2) dz/gx = int_(x1)^(x2) (2kx ) /x dx =2kint_(x1)^(x2) dx $
è corretto?
vi chiedo se è giusto questo procedimento, e se aggiungereste o correggereste qualcosa
voglio risolvere un integrale del tipo: $ int_(z1)^(z2) dz/gx $
dove g e x sono variabili; sapendo che: $ dz/g )=kx^2 $
dove k è una costante, procedo calcolando il differenziale del prodotto $ kx^2 $ che è $ d(kx^2)=2kxdx $
in modo da risolvere l'integrale cosi: $ int_(z1)^(z2) dz/gx = int_(x1)^(x2) (2kx ) /x dx =2kint_(x1)^(x2) dx $
è corretto?
Risposte
Non si capisce rispetto a che variabile stai integrando...
inizialmente rispetto a z e poi rispetto a x
Probabilmente c'è un refuso: suppongo che ${z}/{g}=kx^2$ dico bene? Peranto ${dz}/{g}=2kx\ dx$. Inoltre bisognerebbe chiarire dove stanno le variabili $x$, dal momento che una tale sostituzione non fornisce un valore "univoco, dato $z$ della $x$ associata: infatti, se $k,g>0$ per $z>0$ si ha $x=\pm\sqrt{{z}/{gk}}$ e quindi la sostituzione, senza queste specifiche, non va bene.
purtroppo non è un refuso, devo risolvere questo integrale che compare in un problema di fisica:
$ int_(z1)^(z2) dz/gx $
conoscendo il rapporto tra il differenziale dz e la variabile g: $ dz/g )=kx^2 $
conosco anche il risultato finale dell'integrale : $ 2k(x2-x1) $
ho ipotizzato dunque una risoluzione per sostituzione, calcolando il nuovo differenziale della quantità $ kx^2 $
non ho altre idee di risoluzione se non questa, ma mi rendo conto che è un uso non classico del metodo
di sostituzione, in genere si sostituisce una variabile non il suo differenziale, ma in questo caso,
devo sostituire proprio il differenziale!
come fare?
$ int_(z1)^(z2) dz/gx $
conoscendo il rapporto tra il differenziale dz e la variabile g: $ dz/g )=kx^2 $
conosco anche il risultato finale dell'integrale : $ 2k(x2-x1) $
ho ipotizzato dunque una risoluzione per sostituzione, calcolando il nuovo differenziale della quantità $ kx^2 $
non ho altre idee di risoluzione se non questa, ma mi rendo conto che è un uso non classico del metodo
di sostituzione, in genere si sostituisce una variabile non il suo differenziale, ma in questo caso,
devo sostituire proprio il differenziale!
come fare?
Mi pare strano che un "differenziale" (quantità di per sé associata ad una derivazione) non corrisponda ad un altro differenziale, sai? Magari se specificassi meglio il senso delle variabili e delle costanti, ci potremmo capire meglio.
in effetti credevo che fosse un problema strettamente matematico, e dunque ho postato
l'integrale compattando le costanti e cambiando i nomi delle variabili, credendo di renderlo
più semplice, dunque l'integrale originale è uno degli "invarianti" di Riemann che si trovano per lo studio delle
onde piane in gasdinamica:
$ int_(p1)^(p2)(dp)/ (rho a $
dove a è la velocità del suono laplaciana, p la pressione e rho la densità.
poichè so che la perturbazione ondosa avviene con legge isoentropica, dalla relazione:
$ T ds=dh-vdp=dh-(dp)/rho $ per una isoentropica ds è zero quindi: $ dh=(dp)/rho $
e poi anche: $ dh=cp\cdot T $
inoltre per i gas perfetti vale la seguente: $ a^2=gamma RT $ da cui $ T=(a^2)/(gamma R $
la soluzione dell'integrale è: $ 2/(gamma -1 ) a2-a1 $
e io avevo pensato alla sostituzione: $ (dp)/rho =cp*(a^2)/(gamma R $
e avevo chiamato la costante k come $ k=(cp)/(gamma R $ essendo tutte costanti.
inoltre so anche che: $ (cp)/ R =(gamma )/(gamma -1 $
questi sono tutti i dati del problema.
grazie!
l'integrale compattando le costanti e cambiando i nomi delle variabili, credendo di renderlo
più semplice, dunque l'integrale originale è uno degli "invarianti" di Riemann che si trovano per lo studio delle
onde piane in gasdinamica:
$ int_(p1)^(p2)(dp)/ (rho a $
dove a è la velocità del suono laplaciana, p la pressione e rho la densità.
poichè so che la perturbazione ondosa avviene con legge isoentropica, dalla relazione:
$ T ds=dh-vdp=dh-(dp)/rho $ per una isoentropica ds è zero quindi: $ dh=(dp)/rho $
e poi anche: $ dh=cp\cdot T $
inoltre per i gas perfetti vale la seguente: $ a^2=gamma RT $ da cui $ T=(a^2)/(gamma R $
la soluzione dell'integrale è: $ 2/(gamma -1 ) a2-a1 $
e io avevo pensato alla sostituzione: $ (dp)/rho =cp*(a^2)/(gamma R $
e avevo chiamato la costante k come $ k=(cp)/(gamma R $ essendo tutte costanti.
inoltre so anche che: $ (cp)/ R =(gamma )/(gamma -1 $
questi sono tutti i dati del problema.
grazie!
"cla29":
e poi anche: $ dh=cp\cdot T $
Ecco, questo non mi torna: come fa un $dh$ ad essere uguale ad una funzione? Ci dovrebbe essere un $d$qualcosa appresso, e non ne vedo.
hai ragione, ho sbagliato la relazione giusta è:
$ h=cp\cdot T $
$ h=cp\cdot T $
a questo punto la mia idea va a farsi benedire, e non so come risolvere, spero che tu
abbia qualche suggerimento, e non mi abbandoni proprio ora!
abbia qualche suggerimento, e non mi abbandoni proprio ora!
aspetta che ne pensi di questa:
differenziando diventa $ dh=cp\cdot dT $ e allora scrivo: $ int_(h1)^(h2) (dh)/a =int_(T1)^(T2) (cp\cdot dT)/a $
poichè: $ a=(gamma RT)^(1/2 ) =(gamma R)^(1/2) \cdot T^(1/2 $
dunque: $ (cp)/(gamma R)^(1/2) int_(T1)^(T2) (dT)/(T^(1/2))= (cp)/(gamma R)^(1/2) 2(T^(1/2) (2)- T^(1/2) (1)) $
ma sapendo che: $ T^(1/2)=a/(gamma R)^(1/2) rArr (cp)/(gamma R)^(1/2) 2/(gamma R)^(1/2) a (2)- a (1)=(2cp)/(gamma R) a (2)- a (1) $
e poichè: $ (cp)/(gamma R) = 1/(gamma -1) $
ti sembra corretta?
differenziando diventa $ dh=cp\cdot dT $ e allora scrivo: $ int_(h1)^(h2) (dh)/a =int_(T1)^(T2) (cp\cdot dT)/a $
poichè: $ a=(gamma RT)^(1/2 ) =(gamma R)^(1/2) \cdot T^(1/2 $
dunque: $ (cp)/(gamma R)^(1/2) int_(T1)^(T2) (dT)/(T^(1/2))= (cp)/(gamma R)^(1/2) 2(T^(1/2) (2)- T^(1/2) (1)) $
ma sapendo che: $ T^(1/2)=a/(gamma R)^(1/2) rArr (cp)/(gamma R)^(1/2) 2/(gamma R)^(1/2) a (2)- a (1)=(2cp)/(gamma R) a (2)- a (1) $
e poichè: $ (cp)/(gamma R) = 1/(gamma -1) $
ti sembra corretta?
Allora, recuperiamo tutte le informazioni: vogliamo calcolare
$$\int_{p_1}^{p_2}\frac{dp}{\rho a}$$
Sappiamo che $dh={dp}/{\rho}$ e che $h=c_p T$, Inoltre $a^2=\gamma R T$ e sappiamo anche che $c_p=\frac{\gamma}{\gamma-1}$. Osserva che per evitare confusione tra la pressione e la costante $cp$ che hai scritto tu, ho posto $c_p$ per tale costante.
Ora, da quello che vedo come soluzione, quello che dobbiamo fare è riportare l'integrale ad una forma del tipo
$$\int_{a_1}^{a_2} f(a)\ da$$
dove $f$ sarà una certa funzione della variabile $a$. Ragioniamo allora sui differenziali:
$$\frac{dp}{\rho}=dh=d(c_p T)=c_p\ dT$$
poiché $c_p$ costante e $T$ è variabile. D'altro canto $T=\frac{a^2}{\gamma R}$ e pertanto
$$\frac{dp}{\rho}=c_p\ dT=c_p\cdot\frac{2a\ da}{\gamma R}=\frac{c_p}{\gamma R}\cdot 2a\ da$$
Poiché le sostituzioni sono dirette e interessano solo gli stati iniziali e finali, alla fine gli estremi $P-1,\ p_2$ si sostituiscono con $a_1\ a_2$ e si ricava
$$\int_{p_1}^{p_2}\frac{dp}{\rho a}=\int_{a_1}^{a_2}\frac{c_p}{\gamma R}\cdot \frac{2a\ da}{a}=\frac{2c_p}{\gamma R}\int_{a_1}^{a_2}\ da=\frac{2c_p}{\gamma R}(a_2-a_1)$$
Infine essendo dalla relazione per le costanti segue il risultato cercato.
EDIT: ho visto dopo il tuo. Corretto ma più macchinoso perché devi tirare fuori una radice quadrata.
$$\int_{p_1}^{p_2}\frac{dp}{\rho a}$$
Sappiamo che $dh={dp}/{\rho}$ e che $h=c_p T$, Inoltre $a^2=\gamma R T$ e sappiamo anche che $c_p=\frac{\gamma}{\gamma-1}$. Osserva che per evitare confusione tra la pressione e la costante $cp$ che hai scritto tu, ho posto $c_p$ per tale costante.
Ora, da quello che vedo come soluzione, quello che dobbiamo fare è riportare l'integrale ad una forma del tipo
$$\int_{a_1}^{a_2} f(a)\ da$$
dove $f$ sarà una certa funzione della variabile $a$. Ragioniamo allora sui differenziali:
$$\frac{dp}{\rho}=dh=d(c_p T)=c_p\ dT$$
poiché $c_p$ costante e $T$ è variabile. D'altro canto $T=\frac{a^2}{\gamma R}$ e pertanto
$$\frac{dp}{\rho}=c_p\ dT=c_p\cdot\frac{2a\ da}{\gamma R}=\frac{c_p}{\gamma R}\cdot 2a\ da$$
Poiché le sostituzioni sono dirette e interessano solo gli stati iniziali e finali, alla fine gli estremi $P-1,\ p_2$ si sostituiscono con $a_1\ a_2$ e si ricava
$$\int_{p_1}^{p_2}\frac{dp}{\rho a}=\int_{a_1}^{a_2}\frac{c_p}{\gamma R}\cdot \frac{2a\ da}{a}=\frac{2c_p}{\gamma R}\int_{a_1}^{a_2}\ da=\frac{2c_p}{\gamma R}(a_2-a_1)$$
Infine essendo dalla relazione per le costanti segue il risultato cercato.
EDIT: ho visto dopo il tuo. Corretto ma più macchinoso perché devi tirare fuori una radice quadrata.
grazie per l'aiuto e per la disponibilità!!!!
Prego, però ti suggerisco una cosa: la prossima volta, parti direttamente con un post tipo il sesto (ovviamente controllando per bene tutto ciò che scrivi), così si evitano inutili palleggiamenti.
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