Sostituzione standard $t=tg(x/2)$ per integrali
scusate ma come faccio a dimostrare a partire da questa sostituzione $t=tg(x/2)$ tutte le altre formule di sostituzione di seno e coseno per gli integrali? ho cercato nel forum ed ho trovato post simili ma non c'era la dimostrazione completa
Risposte
Che intendi con "tutte le altre formule di sostituzione per seno e coseno"? Questa è una sostituzione e si usa quando è comoda. Porta qualche esempio.
Intende dire come puoi sostituire $ sinx = 2t/(1+t^2)$
$sin (x ) = 2sin(x/2) cos(x/2) = 2sin(x/2)/cos(x/2) * cos^2 (x/2) = $
$= 2tan(x/2) * cos^2 (x/2)= 2tan(x/2) * (cos^2 (x/2)) / (sin^2 (x/2)+cos^2(x/2))= $
$ =2tan(x/2) * 1 /( (sin^2 (x/2))/(cos^2(x/2))+(cos^2(x/2))/(cos^2x/2))= 2tan(x/2) /(1+tan^2(x/2))$
Una formula analoga la si trova per il coseno. Prova un pò tu!
$sin (x ) = 2sin(x/2) cos(x/2) = 2sin(x/2)/cos(x/2) * cos^2 (x/2) = $
$= 2tan(x/2) * cos^2 (x/2)= 2tan(x/2) * (cos^2 (x/2)) / (sin^2 (x/2)+cos^2(x/2))= $
$ =2tan(x/2) * 1 /( (sin^2 (x/2))/(cos^2(x/2))+(cos^2(x/2))/(cos^2x/2))= 2tan(x/2) /(1+tan^2(x/2))$
Una formula analoga la si trova per il coseno. Prova un pò tu!