Sostituzione - integrazione per parti integrale indefinito

[jigen45]

Ciao ragazzi! Due quesiti mi chiedono:

1- Giustificazione della formula di integrazione per sostituzione per un integrale indefinito.
2- Giustificazione della formula di integrazione per parti per un integrale indefinito.

La dimostrazione del perché si possano utilizzare questi due metodi per gli integrali indefiniti non l'ho trovata. Potete darmi una mano? Grazie mille in anticipo!

[gugo82]

Se ti dico formula di derivazione della funzione composta e del prodotto, cosa ne trai?

[jigen45]

Per quanto riguarda la formula per parti quindi posso utilizzare la regola della derivata del prodotto, poi integro entrambi i membri e alla fine li scambio ed ottengo la formula, giusto? È sufficiente?

Riguardo alla formula per sostituzione, ho presente quella inerente gli integrali definiti, ovvero che se esiste $g(x)$ differenziabile in un intervallo $[a,b]$ e se $g(a)=A$ e se $g(b)=B$ e se esiste una $f(x)$ continua nell'immagine di $g(x)$, allora:

$ int_a^bf(g(x))cdotg'(x)dx=int_A^Bf(u)du $

Ma per l'integrale indefinito?

P.S. Anche perché "giustificazione" sta per "dimostrazione", giusto?

Grazie!

[victory92]

quella di sostituzione la dimostri dalla regola di derivazione della funzione composta. cioè:
$ D_x[f(g(x))]=f'(g(x))*g'(x)=>f(g(x))=intf'(g(x))*g'(x)dx $
quella per parti dalla regola del prodotto:
$ D_x[f(x)g(x)]=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)=>f(x)g(x)=intf'(x)g(x)dx+intf(x)g'(x)dx=> $
$ intf'(x)g(x)dx=f(x)g(x)-intf(x)g'(x)dx $

[jigen45]

Oddio ho scambiato i nomi dei due metodi nel messaggio precedente. Messaggio modificato. Okay, quindi quando mi chiede di giustificare, ovvero di dimostrare, questo devo fare e nient'altro.. giusto? Grazie!

[victory92]

si si non vedo che altro puoi fare. poi non so... studio ingegneria meccanica non sono un matematico... (sigh)

[jigen45]

Bè non ti preoccupare se per quello io sto molto indietro rispetto a te.. Grazie per la dritta!

[gugo82]

Fossi in te, jigen45, citerei ad esempio questo teorema:

Siano \(f,g:I\to \mathbb{R}\) funzioni derivabili nell'intervallo \(I\subseteq \mathbb{R}\).
Per ogni primitiva \(\Phi\) di \(fg^\prime\) esiste un'unica primitiva \(\Psi\) di \(f^\prime g\) tale che:
\[ \tag{1}
\Phi = fg - \Psi\; .
\]
La (1) di solito si scrive meno formalmente come segue:
\[
\int f(x)\ g^\prime (x)\ \text{d} x = f(x)\ g(x) - \int f^\prime (x)\ g(x)\ \text{d} x
\]
e quest'ultima relazione è nota come formula di integrazione indefinita per parti.

La dimostrazione della (1) è banale e si basa su un'applicazione della formula di derivazione del prodotto e sull'uso della definizione di "primitiva".

Dim.: Esistenza. Mostriamo che la funzione definita ponendo \(\Psi (x):=f(x) g(x) -\Phi (x)\) è una primitiva di \(f^\prime g\).
Per definizione di primitiva e per il teorema di derivazione del prodotto, la funzione \(\Psi\) è definita in \(I\) ed ivi derivabile (poiché somma di funzioni derivabili); inoltre risulta:
\[
\begin{split}
\Psi^\prime (x) &= \big[ f(x)g(x)\big]^\prime - \Phi^\prime (x)\\
&= f^\prime (x) g(x) + \cancel{f(x) g^\prime (x)} - \cancel{f(x) g^\prime (x)}\\
&= f^\prime (x) g(x)
\end{split}
\]
quindi \(\Psi\) è una primitiva di \(f^\prime g\).
Inoltre, per costruzione, la \(\Psi\) soddisfa in maniera evidentissima la (1).
*
Unicità. Sia \(\Theta\) una seconda primitiva di \(f^\prime g\) che soddisfa la (1), i.e. tale che \(\Phi = fg - \Theta\). In tal caso la funzione \(\Theta - \Psi\), definita in \(I\), è identicamente nulla in \(I\) (difatti \(\Theta = fg-\Phi=\Psi\)), dunque \(\Theta =\Psi\), come volevamo.

Per quanto concerne la sostituzione, esiste un teorema analogo ma molto più semplice:

Siano \(I,J\) due intervalli, \(f:I\to \mathbb{R}\) una funzione continua ed \(u:J\to I\) derivabile.
Per ogni primitiva \(F\) di \(f\), la funzione \(\Theta\) definita in \(J\) dall'assegnazione:
\[ \tag{2}
\Theta (x) =F(u(x))
\]
è una primitiva di \((f\circ u)\ u^\prime\).[nota]La funzione \((f\circ u)\ u^\prime\) è quella definita in \(J\) dall'assegnazione \(x\mapsto f(u(x))\ u^\prime (x)\).[/nota]
La (2) di solito si scrive meno formalmente come segue:
\[
\int f( u(x))\ u^\prime (x)\ \text{d} x \stackrel{u=u(x)}{=} \int f (u)\ \text{d} u
\]
e quest'ultima relazione è nota come formula di integrazione indefinita per sostituzione.

Anche qui la dimostrazione è banale e te la lascio per esercizio.

[jigen45]

Benissimo! Era proprio quello che cercavo! Grazie mille ancora gugo82, sei un fuoriclasse!

[victory92]

"jigen45":Benissimo! Era proprio quello che cercavo! Grazie mille ancora gugo82, sei un fuoriclasse!

che ti dicevo? ecco qual'è la differenza tra un matematico e un ingegnere (vabbè che ancora non sono neanche laureato... ma lasciamo perdere questi dettagli )

[jigen45]

Ma no.. Ovviamente grazie mille anche a te, victory92! Ci hai preso anche tu eh