Sostegno di due curve parametriche
Salve ho un problema con un esercizio.
Sia $ \( \gamma (t) :[-1,1]\rightarrow R^2 \) definita da \( \gamma (t) = (t,t^2) \)
a) $ \gamma (t) $ è regolare? sì perchè $ \gamma' (t) = (1,2t) \ne 0 $
b) Il sostegno di $ \gamma (t) \ $ coincide con il grafico di $ \gamma (t) \ = (t^2,t) \in [-1,1] $ ?
A me viene che il sostegno della prima funzione è una parabola, mentre il secondo grafico è la radice di x ( se non sono giusti, magari esplico il ragionamento così potete correggermi) quindi mi viene che i due sostegni non coincidono, ma il professore nella correzione ha messo che in verità i due sostegni coincidono.
Se qualcuno riuscisse a darmi una mano gli sarei molto grata!
Buona giornata a tutti
Sia $ \( \gamma (t) :[-1,1]\rightarrow R^2 \) definita da \( \gamma (t) = (t,t^2) \)
a) $ \gamma (t) $ è regolare? sì perchè $ \gamma' (t) = (1,2t) \ne 0 $
b) Il sostegno di $ \gamma (t) \ $ coincide con il grafico di $ \gamma (t) \ = (t^2,t) \in [-1,1] $ ?
A me viene che il sostegno della prima funzione è una parabola, mentre il secondo grafico è la radice di x ( se non sono giusti, magari esplico il ragionamento così potete correggermi) quindi mi viene che i due sostegni non coincidono, ma il professore nella correzione ha messo che in verità i due sostegni coincidono.
Se qualcuno riuscisse a darmi una mano gli sarei molto grata!
Buona giornata a tutti
Risposte
Le due curve date sono sempre parabole. La seconda si ottiene dalla prima routando gli assi cartesiani di $\pi/2 rad$.
Una curva $\phi :I \to \RR^2$ si dice regolare se esiste la derivata di $\phi$ ed essa non si annulla mai in nessun punto di $I$. Ma tuttavia questo non significa che $\phi'=0$, perche' il primo membro e' un vettore e il secondo un numero (scalare).
Dunque scrivi per maggior correttezza $(1,2t)!=(0,0)$.
Una curva $\phi :I \to \RR^2$ si dice regolare se esiste la derivata di $\phi$ ed essa non si annulla mai in nessun punto di $I$. Ma tuttavia questo non significa che $\phi'=0$, perche' il primo membro e' un vettore e il secondo un numero (scalare).
Dunque scrivi per maggior correttezza $(1,2t)!=(0,0)$.
Hai Ragione per la questione della derivata, dovrei scrivere in maniera più precisa. Ti ringrazio.
Per quanto riguarda la prima questione: Sono sempre parabole, ma nel tratto $ [-1,1] $ il " disegno" è diverso, una parabola è ruotata mentre l'altra è " dritta" , o sbaglio? perdonami ma non mi è tanto chiaro
Per quanto riguarda la prima questione: Sono sempre parabole, ma nel tratto $ [-1,1] $ il " disegno" è diverso, una parabola è ruotata mentre l'altra è " dritta" , o sbaglio? perdonami ma non mi è tanto chiaro
Si', le due parabole hanno assi di simmetria perpendicolari nell'origine. Ma l'una si ottiene ruotandola rigidamente all'asse di simmetria appunto facendo giacere quest'ultimo sull'altro asse della seconda parabola (rotazione di $\pi/2$ rad ossia di un angolo retto).