Sostegno curva in forma esplicita
Ho un problema con il seguente esercizio:
Sia:
$
Gamma={(x,y,z)^T in R^3 : x^2+y^2+2z^2=1 , x+y+z=0}
$
i) Si provi che é il sostegno di una curva regolare in forma implicita in $R^3$.
ii) Si determinino i punti di $ Gamma $ aventi massima e minima distanza dall'origine.
Il primo punto è il più critico e non so che fare.
Il secondo punto ho l'idea che si puossa risolvere con i moltiplicatori di Langrange ma non so come operare.
Grazie in anticipo!
Sia:
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Gamma={(x,y,z)^T in R^3 : x^2+y^2+2z^2=1 , x+y+z=0}
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i) Si provi che é il sostegno di una curva regolare in forma implicita in $R^3$.
ii) Si determinino i punti di $ Gamma $ aventi massima e minima distanza dall'origine.
Il primo punto è il più critico e non so che fare.
Il secondo punto ho l'idea che si puossa risolvere con i moltiplicatori di Langrange ma non so come operare.
Grazie in anticipo!
Risposte
Ok, non sono sicuro del tutto se il procedimento è corretto ma posto per non lasciar domande in sospeso quello che ho elaborato.
i)Partendo dai vincoli di $Gamma$, ottengo una funzione $ Phi(x,y)=x^2+y^2+2y-1 $ (sistema dei vincoli).
Da qui basta individuare un punto $P(x0,y0) in Gamma$ per il quale $gradPhi(x0,y0)!=0_$
Posto P=(1,0) e verificato che soddisfano le condizioni sopra, per la definizione di curva implicita, esiste un intorno U di P (in questo caso semipiano delle ascisse positive) per il quale esiste una funzione $k(y)=sqrt(1-y^2-2y)$ che è una curva regolare appunto, in forma implicita ottenuta da $Phi(x,y)$.
ii)Con il metodo dei moltiplicatori di Lagrange devo cercare gli estremi della funzione f(x,y)=x^2+y^2 su $Phi(x,y)$
$ { ( fx(x,y)+lambdaPhix(x,y)=0 ),( fy(x,y)+lambdaPhiy(x,y)=0 ),( Phi(x,y)=0 ):} $
Soluzione:
$ { ( x=0 ),( y=1 ),( lambda=-1/2 ):} $
Allora il punto (0,1) è estemo per f. Siccome f(x,y) non ha massimo, f(0,1)=2 è punto di minimo.
Se qualche anima pia mi facesse un cenno di approvazione se il procedimento sembra corretto, ne sarei davvero grato.
Saluti!
i)Partendo dai vincoli di $Gamma$, ottengo una funzione $ Phi(x,y)=x^2+y^2+2y-1 $ (sistema dei vincoli).
Da qui basta individuare un punto $P(x0,y0) in Gamma$ per il quale $gradPhi(x0,y0)!=0_$
Posto P=(1,0) e verificato che soddisfano le condizioni sopra, per la definizione di curva implicita, esiste un intorno U di P (in questo caso semipiano delle ascisse positive) per il quale esiste una funzione $k(y)=sqrt(1-y^2-2y)$ che è una curva regolare appunto, in forma implicita ottenuta da $Phi(x,y)$.
ii)Con il metodo dei moltiplicatori di Lagrange devo cercare gli estremi della funzione f(x,y)=x^2+y^2 su $Phi(x,y)$
$ { ( fx(x,y)+lambdaPhix(x,y)=0 ),( fy(x,y)+lambdaPhiy(x,y)=0 ),( Phi(x,y)=0 ):} $
Soluzione:
$ { ( x=0 ),( y=1 ),( lambda=-1/2 ):} $
Allora il punto (0,1) è estemo per f. Siccome f(x,y) non ha massimo, f(0,1)=2 è punto di minimo.
Se qualche anima pia mi facesse un cenno di approvazione se il procedimento sembra corretto, ne sarei davvero grato.
Saluti!
Hai avuto delle buone idee, ma le hai applicate decisamente male.
1) la curva è costituita, contemporaneamente, dall'intersezione delle due superfici $\Phi(x,y,z)=x^2+y^2+2z^2-1=0$ (ellissoide rotondo con asse maggiore lungo l'asse $z$) e $\Psi(x,y,z)=x+y+z=0$ (piano passante per l'origine): la curva è una ellisse situata sul piano (e quindi inclinata rispetto ai piani coordinati). Per verificare la regolarità, basta far vedere che per ogni punto di essa si abbia
$|\nabla\Phi|^2+|nabla\Psi|^2\ne 0$ (dove $\nabla$ viene inteso come l'operatore di derivazione vettoriale a tre componenti e non due come hai fatto tu).
2) il metodo dei moltiplicatori va bene: tuttavia la funzione distanza di cui trovare gli estremi è $f(x,y)=x^2+y^2+z^2$ mentre le due funzioni che definiscono $\Gamma$ sono i vincoli. Pertanto la lagrangiana è
$L(x,y,z)=f(x,y,z)+\lambda\Phi(x,y,z)+\mu\Psi(x,y,z)$
Osserva che otterrai 5 condizioni (le tre derivate parziali di $L$ e i due vincoli) da mettere a sistema e risolvere.
1) la curva è costituita, contemporaneamente, dall'intersezione delle due superfici $\Phi(x,y,z)=x^2+y^2+2z^2-1=0$ (ellissoide rotondo con asse maggiore lungo l'asse $z$) e $\Psi(x,y,z)=x+y+z=0$ (piano passante per l'origine): la curva è una ellisse situata sul piano (e quindi inclinata rispetto ai piani coordinati). Per verificare la regolarità, basta far vedere che per ogni punto di essa si abbia
$|\nabla\Phi|^2+|nabla\Psi|^2\ne 0$ (dove $\nabla$ viene inteso come l'operatore di derivazione vettoriale a tre componenti e non due come hai fatto tu).
2) il metodo dei moltiplicatori va bene: tuttavia la funzione distanza di cui trovare gli estremi è $f(x,y)=x^2+y^2+z^2$ mentre le due funzioni che definiscono $\Gamma$ sono i vincoli. Pertanto la lagrangiana è
$L(x,y,z)=f(x,y,z)+\lambda\Phi(x,y,z)+\mu\Psi(x,y,z)$
Osserva che otterrai 5 condizioni (le tre derivate parziali di $L$ e i due vincoli) da mettere a sistema e risolvere.
Ti ringrazio infinitamente per l'aiuto ma avrei ancora dei dubbi sul primo punto.
Tu dici che la curva è intersezione dell'elissoide e del piano per l'origine che alla fine si definisce come sistema dei due vincoli di $Gamma$, vero?
Cioè la dicitura: $ gamma(x,y,z)={ ( Phi(x,y,z)=0 ),(Psi(x,y,z)=0 ):} $ è corretta ed è la rappresentazione cartesiana della curva?
Poi, quando faccio $ |nablaPhi(x,y,z)|^2 + |nablaPsi(x,y,z)|^2!=0 $
devo in realtà dimostrare che il sistema
$ { ( |nablaPhi(x,y,z)|^2 + |nablaPsi(x,y,z)|^2=0 ),( Phi(x,y,z)=0 ),( Psi(x,y,z)=0 ):} $
non ha soluzioni, è corretto?
Per il secondo punto è tutto chiaro. Sbagliavo perchè andavo di pari passo al ragionamento (sbagliato) del primo.
Di nuovo grazie!
Tu dici che la curva è intersezione dell'elissoide e del piano per l'origine che alla fine si definisce come sistema dei due vincoli di $Gamma$, vero?
Cioè la dicitura: $ gamma(x,y,z)={ ( Phi(x,y,z)=0 ),(Psi(x,y,z)=0 ):} $ è corretta ed è la rappresentazione cartesiana della curva?
Poi, quando faccio $ |nablaPhi(x,y,z)|^2 + |nablaPsi(x,y,z)|^2!=0 $
devo in realtà dimostrare che il sistema
$ { ( |nablaPhi(x,y,z)|^2 + |nablaPsi(x,y,z)|^2=0 ),( Phi(x,y,z)=0 ),( Psi(x,y,z)=0 ):} $
non ha soluzioni, è corretto?
Per il secondo punto è tutto chiaro. Sbagliavo perchè andavo di pari passo al ragionamento (sbagliato) del primo.
Di nuovo grazie!
Esatto: la curva si ottiene come intersezione delle due funzioni. Infatti, ciascuna di esse fornisce 2 parametri liberi dipendenti da uno solo (in generale una funzione $F=0$ dipendnete da $n$ variabili ha 1 variabile indipendente e $n-1$ dipendenti) ma un oggetto del genere avrebbe dimensione 2 e quindi sarebbe una superficie. Per ottenere una curva, che ha dimensione 1, devi intersecare due tali funzioni.
Per l'altra domanda, sottintendevo il fatto di controllare quella condizione sui gradienti relativamente ai punti delle curve: cosa te ne faresti di tale condizione per un punto che sulla curva non ci sta?
P.S.: la cosa strana e che tu non mi abbia chiesto perché quella condizione sui gradienti o che non abbia spiegato secondo te perché serve. Sei sicuro di aver compreso il motivo?
Per l'altra domanda, sottintendevo il fatto di controllare quella condizione sui gradienti relativamente ai punti delle curve: cosa te ne faresti di tale condizione per un punto che sulla curva non ci sta?
P.S.: la cosa strana e che tu non mi abbia chiesto perché quella condizione sui gradienti o che non abbia spiegato secondo te perché serve. Sei sicuro di aver compreso il motivo?
"ciampax":
P.S.: la cosa strana e che tu non mi abbia chiesto perché quella condizione sui gradienti o che non abbia spiegato secondo te perché serve. Sei sicuro di aver compreso il motivo?
No. Ma ho provato a farmene una ragione.
Una curva si dice normale se il suo gradiente è $!=0$ in ogni punto.
Definita la curva come intersezione di due funzioni, il gradiente della curva altro non è che la somma vettoriale delle normali dei piani definiti da $Phi, Psi$.
Quindi applicando pitagora ai moduli ecco la condizione di regolarità.
Spero di non aver detto castronerie.
Sei stato davvero utile e gentile. Grazie ancora.
Sostanzialmente quello che dici è corretto: un modo più elegante per dirlo è che, dal momento che i gradienti determinano le direzioni ortogonali ai piani tangenti e, quindi, il vettore tangente alla curva si trova nell'intersezione di tali piani, se uno dei due gradienti fosse nullo si avrebbe un piano degenere e quindi anche il vettore tangente sarebbe degenere (e non si avrebbe regolarità). Il fatto di imporre quella quantità diversa da zero è che il sistema $a\ne 0, b\ne 0$ equivale alla condizione $a^2+b^2\ne 0$.
Ciao a tutti,
Mi sono chiari tutti i passaggi ma non riesco a capire come, nell'utilizzo dei moltiplicatori Di Lagrange, siate riusciti a trovare la funzione:
f(x,y,z)=(x^2)+(y^2)
senza che vi venga data dalla traccia dell'esercizio. Potete aiutarmi??????? GrZie!!
Mi sono chiari tutti i passaggi ma non riesco a capire come, nell'utilizzo dei moltiplicatori Di Lagrange, siate riusciti a trovare la funzione:
f(x,y,z)=(x^2)+(y^2)
senza che vi venga data dalla traccia dell'esercizio. Potete aiutarmi??????? GrZie!!
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