Soprasoluzioni dei problemi di Cauchy

[dissonance]

Sia [tex]f(t,x)[/tex] una funzione continua in un opportuno aperto di [tex]\mathbb{R}^2[/tex], al quale appartenga il punto [tex](t_0, x_0)[/tex]. Se abbiamo due funzioni [tex]x(t), x_+(t)[/tex] definite in un intorno destro di [tex]t_0[/tex] e tali che

[tex]$\begin{\displaymath} \begin{cases} \dot{x}(t)=f(t, x) \\ x(t_0)=x_0 \end{cases};\qquad \begin{cases} \dot{x}_+(t)>f(t, x) \\ x(t_0) \ge x_0 \end{cases}[/tex]

allora [tex]x_+(t) > x(t)[/tex] per ogni [tex]t > t_0[/tex]. La dimostrazione è molto semplice: definiamo una applicazione [tex]\Delta(t)=x_+(t)-x(t)[/tex], osservando che essa ha la proprietà

[tex]$\Delta(t_1)=0 \Rightarrow \dot{\Delta}(t_1)>0[/tex] e che [tex]\Delta(t_0) \ge 0[/tex].

Si vede facimente che questa funzione è sempre positiva in tutto l'intorno destro di [tex]t_0[/tex] nel quale è definita. In tutte le dimostrazioni di questo fatto che mi sono venute in mente, però, è sempre entrata in modo essenziale l'ipotesi

[tex]\dot{x}_+(t)>f(t, x)[/tex], in cui la disuguaglianza ha il segno di maggiore stretto.

Domanda Vale un risultato analogo con il segno di maggiore o uguale? Sono sicuro che la risposta sia sì se si assume che [tex]f[/tex] verifichi una condizione di Lipschitz rispetto alla seconda variabile (*), cosa non necessaria con il segno di maggiore stretto. Senza questa ipotesi di Lipschitzianità, il risultato con il maggiore o uguale può fallire?

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(*) Cfr. Berti §4.1.4 pag.52 (la dimostrazione è per esercizio);
oppure Vitali §2.4 "Disuguaglianze differenziali", la dimostrazione usa il lemma di Gronwall e quindi in modo essenziale la Lipschitzianità di [tex]f[/tex].

[ViciousGoblin]

Se capisco bene la domanda da quanto dici dovrebbe seguire che due soluzioni della stessa equazione con lo stesso dato iniziale dovrebbero coincidere
(dato che ognuna dovrebbe essere maggiore o eguale dell'altra)

Mi pare allora che per trovare un controesempio basti considerare due soluzioni distinte dellì'equazione
$y'=\sqrt{y}$ con condizione iniziale $y(0)=0$.

[dissonance]

Oh benissimo, grazie VG. Esplicitamente possiamo prendere $y_1(x)=0, y_2(x)=(x^2)/4$ per ogni $x>=0$. Entrambe sono soluzioni, e quindi anche soprasoluzioni (con il maggiore o uguale), di ${(y'=sqrt(y)), (y(0)=0):}$. Se valesse la disuguaglianza del primo post avremmo $y_1(x)<=y_2(x)<=y_1(x)$, ovvero $x^2=0$, per ogni $x>=0$.

In effetti cercando meglio ho trovato un riferimento: questa disuguaglianza vale con il simbolo di maggiore o uguale a patto che il problema di Cauchy verifichi un teorema di unicità delle soluzioni. Ecco perché gli autori che ho citato richiedono la Lipschitzianità, con cui la dimostrazione è anche piuttosto semplice.

[j18eos]

Infatti, $\sqrt{y(x)}$ non è lipscitziana in ogni intorno con $y\geq0$ di $(0;0)$ (rispetto alla $y$)!
Ci avevo pensato anch'io e sui miei appunti l'ho ritrovato tale esempio!