Sopradifferenziale e sottodifferenziale
Sia $\Omega \subseteq RR^n$ aperto e sia $f \in C(\Omega)$.
Si definisce il sopradifferenziale di $f$ in $x \in \Omega$ come $D^+f(x) = \{ p \in RR^n | "limsup"_{y \to x} \frac{f(y)-f(x)-p \cdot (y-x)}{|y-x|} \le 0 \}$.
Si definisce il sottodifferenziale di $f$ in $x \in \Omega$ come $D^-f(x) = \{ p \in RR^n | "liminf"_{y \to x} \frac{f(y)-f(x)-p \cdot (y-x)}{|y-x|} \ge 0 \}$.
Ho trovato un'altra definizione di sopradifferenziale e di sottodifferenziale.
Si definisce il sopradifferenziale di $f$ in $x \in \Omega$ come $D^+f(x) = \{ p \in RR^n | f(y) \le f(x)+p \cdot (y-x) + o(|y-x|) \}$.
Si definisce il sottodifferenziale di $f$ in $x \in \Omega$ come $D^-f(x) = \{ p \in RR^n | f(y) \ge f(x)+p \cdot (y-x) + o(|y-x|) \}$.
Le due definizioni sono equivalenti?
Si definisce il sopradifferenziale di $f$ in $x \in \Omega$ come $D^+f(x) = \{ p \in RR^n | "limsup"_{y \to x} \frac{f(y)-f(x)-p \cdot (y-x)}{|y-x|} \le 0 \}$.
Si definisce il sottodifferenziale di $f$ in $x \in \Omega$ come $D^-f(x) = \{ p \in RR^n | "liminf"_{y \to x} \frac{f(y)-f(x)-p \cdot (y-x)}{|y-x|} \ge 0 \}$.
Ho trovato un'altra definizione di sopradifferenziale e di sottodifferenziale.
Si definisce il sopradifferenziale di $f$ in $x \in \Omega$ come $D^+f(x) = \{ p \in RR^n | f(y) \le f(x)+p \cdot (y-x) + o(|y-x|) \}$.
Si definisce il sottodifferenziale di $f$ in $x \in \Omega$ come $D^-f(x) = \{ p \in RR^n | f(y) \ge f(x)+p \cdot (y-x) + o(|y-x|) \}$.
Le due definizioni sono equivalenti?
Risposte
Può darsi, se (come credo) le disuguaglianze delle ultime due definizioni valgono per $y$ in un conveniente intorno di $x$... Prova a giocare un po' con le definizioni di massimo e minimo limite per capirlo.
Confermo che nella seconda definizione si intende per un intorno sufficientemente piccolo di $x$.
Per definizione ho che $"limsup"_{y \to x} g(y)$ è l'inf al variare di $U$ intorno di $x$ del sup al variare degli $y \in U \setminus \{x\}$.
Se $p \in D^+f(x)$ secondo la seconda definizione allora $f(y) \le f(x) + p \cdot (y-x) + o(|y-x|)$, cioè $f(y)-f(x)-p \cdot (y-x) \le o(|y-x|)$, quindi $\frac{f(y)-f(x)-p \cdot (y-x)}{|y-x|} \le frac{o(|y-x|)}{|y-x|}$, dunque $"limsup"_{y \to x} \frac{f(y)-f(x)-p \cdot (y-x)}{|y-x|} \le "limsup"_{y \to x} frac{o(|y-x|)}{|y-x|} = 0$.
Questa inclusione mi sembra funzionare, cosa dici?
Riguardo l'inclusione inversa invece non saprei come procedere.
Per definizione ho che $"limsup"_{y \to x} g(y)$ è l'inf al variare di $U$ intorno di $x$ del sup al variare degli $y \in U \setminus \{x\}$.
Se $p \in D^+f(x)$ secondo la seconda definizione allora $f(y) \le f(x) + p \cdot (y-x) + o(|y-x|)$, cioè $f(y)-f(x)-p \cdot (y-x) \le o(|y-x|)$, quindi $\frac{f(y)-f(x)-p \cdot (y-x)}{|y-x|} \le frac{o(|y-x|)}{|y-x|}$, dunque $"limsup"_{y \to x} \frac{f(y)-f(x)-p \cdot (y-x)}{|y-x|} \le "limsup"_{y \to x} frac{o(|y-x|)}{|y-x|} = 0$.
Questa inclusione mi sembra funzionare, cosa dici?
Riguardo l'inclusione inversa invece non saprei come procedere.
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