Sono giusti i poli di questa funzione?
Calcolare
[tex]\displaystyle \int_{+\partial Q} \frac{\sin z}{z^3-(2+i)z^2+2iz } \, dz[/tex]
dove Q é la corona circolare di centro l'origine e raggi ½ e 3/2.
Svolgimento
Prima di tutto occorre trovare i poli, dopo bisogna applicare il teorema dei residui che se non sbaglio dice che [tex]\displaystyle \int_{+\partial D}f(z)\,dz= 2\pi i\sum_{j=1}^m R(z_j)[/tex]
dove [tex]R(z_j)[/tex] sono i residui calcolati per ogni polo z_j che cade dentro al dominio D assegnato.
Lavoro sul denominatore D(z) della funzione data.
[tex]D(z)=z\bigg( z^2-(2+i)z +2i\bigg)[/tex]
Emerge subito che il polo z=0 non cade dentro a Q.
Cerchiamo gli altri poli:
[tex]z=\frac{(2+i) \pm \sqrt{(2+i)^2-4(2i)} }{2}= \frac{(2+i) \pm \sqrt{3-i4} }{2} =[/tex] $ { ( z_1={(2+i)+sqrt{3+i4}}/{2} ),( z_2={(2+i) - sqrt{3+i4}}/{2} ):} $
Quindi [tex]D(z)=z(z-z_1)(z- z_2)[/tex]
E ora come faccio a capire se i due poli z1 e z2 sono dentro o fuori Q?
È un esercizio d'esame e mi chiedevo se ho fatto bene i conti fino a qui, perché se così è, allora calcolare i Residui diventa ancora più complicato...
[tex]\displaystyle R(z_j)=\lim_{z \to z_j} \frac{1}{(n-1)!} \; \frac{ d^{(n-1)} }{dz^{(n-1)}} \bigg[ (z-z_j)^n f(z)\bigg]; \: \; \: \text{ n = molteplicita' del polo}[/tex]
(non so se mi spiego...
)
[tex]\displaystyle \int_{+\partial Q} \frac{\sin z}{z^3-(2+i)z^2+2iz } \, dz[/tex]
dove Q é la corona circolare di centro l'origine e raggi ½ e 3/2.
Svolgimento
Prima di tutto occorre trovare i poli, dopo bisogna applicare il teorema dei residui che se non sbaglio dice che [tex]\displaystyle \int_{+\partial D}f(z)\,dz= 2\pi i\sum_{j=1}^m R(z_j)[/tex]
dove [tex]R(z_j)[/tex] sono i residui calcolati per ogni polo z_j che cade dentro al dominio D assegnato.
Lavoro sul denominatore D(z) della funzione data.
[tex]D(z)=z\bigg( z^2-(2+i)z +2i\bigg)[/tex]
Emerge subito che il polo z=0 non cade dentro a Q.
Cerchiamo gli altri poli:
[tex]z=\frac{(2+i) \pm \sqrt{(2+i)^2-4(2i)} }{2}= \frac{(2+i) \pm \sqrt{3-i4} }{2} =[/tex] $ { ( z_1={(2+i)+sqrt{3+i4}}/{2} ),( z_2={(2+i) - sqrt{3+i4}}/{2} ):} $
Quindi [tex]D(z)=z(z-z_1)(z- z_2)[/tex]
E ora come faccio a capire se i due poli z1 e z2 sono dentro o fuori Q?
È un esercizio d'esame e mi chiedevo se ho fatto bene i conti fino a qui, perché se così è, allora calcolare i Residui diventa ancora più complicato...
[tex]\displaystyle R(z_j)=\lim_{z \to z_j} \frac{1}{(n-1)!} \; \frac{ d^{(n-1)} }{dz^{(n-1)}} \bigg[ (z-z_j)^n f(z)\bigg]; \: \; \: \text{ n = molteplicita' del polo}[/tex]
(non so se mi spiego...
)
Risposte
E che devi spiegare... Quelli che vengon fuori (ammesso che qualche singolarità cada dentro [tex]$Q$[/tex]) sono poli semplici, quindi non devi derivare nemmeno mezza volta. 
Ad ogni modo segnalo due cose:
1) la corona circolare è l'insieme definito dalle limitazioni [tex]$\frac{1}{2} <|z|<\frac{3}{2}$[/tex] (come ben sai) e ciò fornisce un facile criterio per vedere se una delle due singolarità cade dentro [tex]$Q$[/tex];
2) un esercizio dato all'esame qui l'altro giorno:
"Calcolare con il Teorema dei residui:
[tex]$\int_{+\partial R} \frac{\cos z}{(e^{\imath z} -\imath)^2(2z-\pi)} \text{d} z$[/tex],
ove [tex]$R$[/tex] è il rettangolo di vertici [tex]$-2\pi \pm \imath$[/tex] e [tex]$\pi \pm \imath$[/tex]."
Questo è un molto più calcoloso del tuo.
Ad ogni modo segnalo due cose:
1) la corona circolare è l'insieme definito dalle limitazioni [tex]$\frac{1}{2} <|z|<\frac{3}{2}$[/tex] (come ben sai) e ciò fornisce un facile criterio per vedere se una delle due singolarità cade dentro [tex]$Q$[/tex];
2) un esercizio dato all'esame qui l'altro giorno:
"Calcolare con il Teorema dei residui:
[tex]$\int_{+\partial R} \frac{\cos z}{(e^{\imath z} -\imath)^2(2z-\pi)} \text{d} z$[/tex],
ove [tex]$R$[/tex] è il rettangolo di vertici [tex]$-2\pi \pm \imath$[/tex] e [tex]$\pi \pm \imath$[/tex]."
Questo è un molto più calcoloso del tuo.
C'è un'imprecisione nella formula quando trovi gli zeri del denominatore.
Quando fai $\pm sqrt(3-4i)$ devi sviluppare le radici di $3-4i$ e vedrai che il segno meno viene già compreso nel risultato.
Una volta trovate le due soluzioni vedi se il modulo dei due poli cade all'interno della corona.
Quando fai $\pm sqrt(3-4i)$ devi sviluppare le radici di $3-4i$ e vedrai che il segno meno viene già compreso nel risultato.
Una volta trovate le due soluzioni vedi se il modulo dei due poli cade all'interno della corona.
"clrscr":
Quando fai $\pm sqrt(3-4i)$ devi sviluppare le radici di $3-4i$ e vedrai che il segno meno viene già compreso nel risultato.
Una volta trovate le due soluzioni vedi se il modulo dei due poli cade all'interno della corona.
Non ho capito, come sviluppo le radici? Mi fai vedere?
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