Sono due giorni che provo a risolvere il seguente integrale triplo e non ci riesco :(
Calcolare l'integrale triplo
$ int int int_(V)^()z dx dy dz $
dove V è l'insieme interno al tetraedro limitato dai piani: $ x=0,y=0, z=0, x+y+z= 3-sqrt(3) $
Ora io ho normalizzato così: $ int_(0)^(3-sqrt3)zdzint_(0)^(3-sqrt3-z) dyint_(0)^(3-sqrt3-z-y)dx $
A patto che ho normalizzato bene (magari controllate) l'avrò fatto una ventina di volte e ogni volta viene un risultato diverso, sempre diverso da $ 1/24 (3-sqrt3)^4 $ che è il risultato fornito dal libro. Sto letteralmente impazzendo. Perchè non viene? Ho normalizzato male?
$ int int int_(V)^()z dx dy dz $
dove V è l'insieme interno al tetraedro limitato dai piani: $ x=0,y=0, z=0, x+y+z= 3-sqrt(3) $
Ora io ho normalizzato così: $ int_(0)^(3-sqrt3)zdzint_(0)^(3-sqrt3-z) dyint_(0)^(3-sqrt3-z-y)dx $
A patto che ho normalizzato bene (magari controllate) l'avrò fatto una ventina di volte e ogni volta viene un risultato diverso, sempre diverso da $ 1/24 (3-sqrt3)^4 $ che è il risultato fornito dal libro. Sto letteralmente impazzendo. Perchè non viene? Ho normalizzato male?
Risposte
Non ci sono errori nell 'impostazione dell 'integrale .
O sbagli qualche calcolo , oppure ti viene il risultato giusto sotto un'altra forma.
Un consiglio che ti do è di esplicitare quello che ti viene , nel senso che
$ 1/24 (3-sqrt3)^4~~ 0.107695 $
O sbagli qualche calcolo , oppure ti viene il risultato giusto sotto un'altra forma.
Un consiglio che ti do è di esplicitare quello che ti viene , nel senso che
$ 1/24 (3-sqrt3)^4~~ 0.107695 $
l'ho fatto ma su 20 volte non mi trovo mai, sto letteralmente impazzendo 
Poniamo $a=3-\sqrt{3}$ (che mi rompo a riscrivere sto coso 1000 volte). Allora dobbiamo calcolare
$$\int_0^a\left(\int_0^{a-z}\left(\int_0^{a-z-y} z\ dx\right)\ dy\right)\ dz=\int_0^a\left(\int_0^{a-z} z\left(a-z-y\right)\ dy\right)\ dz=\\ \int_0^a z\left[(a-z)y-\frac{y^2}{2}\right]_0^{a-z}\ dz=\int_0^a z\cdot\frac{(a-z)^2}{2}\ dz=\\ \frac{1}{2}\int_0^a(a^2 z-2az^2+z^3)\ dz=\frac{1}{2}\left[\frac{a^2 z^2}{2}-\frac{2az^3}{3}+\frac{z^4}{4}\right]_0^a=\\ \frac{1}{2}\left(\frac{a^4}{2}-\frac{2a^4}{3}+\frac{a^4}{4}\right)=\frac{a^4}{24}$$
che è il risultato cercato.
$$\int_0^a\left(\int_0^{a-z}\left(\int_0^{a-z-y} z\ dx\right)\ dy\right)\ dz=\int_0^a\left(\int_0^{a-z} z\left(a-z-y\right)\ dy\right)\ dz=\\ \int_0^a z\left[(a-z)y-\frac{y^2}{2}\right]_0^{a-z}\ dz=\int_0^a z\cdot\frac{(a-z)^2}{2}\ dz=\\ \frac{1}{2}\int_0^a(a^2 z-2az^2+z^3)\ dz=\frac{1}{2}\left[\frac{a^2 z^2}{2}-\frac{2az^3}{3}+\frac{z^4}{4}\right]_0^a=\\ \frac{1}{2}\left(\frac{a^4}{2}-\frac{2a^4}{3}+\frac{a^4}{4}\right)=\frac{a^4}{24}$$
che è il risultato cercato.
wa grazieee sei un grande!! Che bel modo pratico e veloce di procedere!!! Io facevo 14145689156189584916518 calcoli :/
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