Somme superiori ed inferiori

[Gmork]

Salve,

Volevo soffermarmi a riflettere sul significato di somma superiore e somma inferiore di Reimann attraverso questo esempio:

$f(x)=x^2-5x+7$ ed $x\in [0,2]$

In particolare volevo sapere....potrei scegliere come partizione di $[0,2]$ l'intervallo $[0,1]$ ??

[Relegal]

L'intervallo $[0;1]$ non è una partizione di $[0;2]$ !
Una partizione è ad esempio la coppia di intervalli $[0;1]$ e $[1;2]$ ad esempio.

[Gmork]

Ah ok. Comunque deve essere formata da intervalli della stessa ampiezza, no?

[Relegal]

No no, Non c'è alcun vincolo sull'ampiezza degli intervalli. Devi solo curarti di ottenere un certo numero di intervalli disgiunti di ampiezza arbitraria la cui unione sia l'intervallo $[0;2]$.
Detto in altre parole, considera $n$ punti $x_1, ...,x_n$ tali che : $0=x_1

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[Gmork]

ok. Ma quando devo trovare l' inf {[tex]f(x):x\in [x_{i-1}; x_i][/tex]} ed il sup {[tex]f(x):x\in [x_{i-1}; x_i][/tex]} quali $x_{i-1}$ ed $x_i$ dovrei considerare?

[Relegal]

Allora, diciamo che se fissi una partizione dell'intervallo, quello che devi fare è andare a cercare l'estreme superiore e inferiore della funzione $f$ ristretta a ciascuno dei sotto intervalli individuati dai punti della partizione fissata. Questo lo puoi fare ( se proprio ci tieni ) con uno studio di funzione. Ad esempio, se la funzione che studi è continua e limitata già sai che esistono massimo e minimo su ciascun intervallo $[x_i;x_(i+1)]$ grazie al teorema di Weierstrass.
Se quello che tu vuoi fare, è ripercorrere la costruzione dell'integrale di Riemann applicandola un caso particolare, te lo sconsiglio fortemente perchè non è una cosa che ha senso fare. Esistono infatti condizioni sufficienti affinchè una funzione risulti Riemann integrabile.

[Gmork]

Ma se per esempio con la funzione che ho scritto volessi soffermarmi solo al calcolo della somma superiore ed inferiore, ristretta ad esempio all'intervallo $[0,1]$, potrei scrivere:

$f(0)\le f(x)\le f(1)$ quindi $Inf{f(x):0\le x\le 1}=7$ e $Sup{f(x):0\le x\le 1}=11$ e quindi $s=\sum_{i=1}^{2} 7=14$

sarebbe corretto?