Somme inferiori e sup. e serie telescopiche

[china1]

Mi aiutereste con questo esercizio,non ¨¨ per niente difficile. Devo calcolare le somme inf. e sup. relative a f(x)=x+1 nell'intervallo limitato compreso tra 1 e 2.poi calcolarne il limite per n-> ¡Þ , e dedurne l'integrale
¡Ò(x+1)dx da 1 a 2.
Potreste scrivermi i vostri passaggi cos¨¬ vedo dove sbaglio,perch¨¨ non riesco a capirlo.
Grazie mille

[Sk_Anonymous]

Dividiamo l'intervallo [1,2] in n intervallini di
eguale ampiezza =(2-1)/n=1/n mediante i punti:
X0=1+0/n,X1=1+1/n,X2=1+2/n,....,X(n-1)=1+(n-1)/n,Xn=1+n/n=2
a cui corrispondono i valori della funzione:
f(X0)=1+1=2,f(X1)=2+1/n,f(X2)=2+2/n,...,f(X(n-1))=2+(n-1)/n,
f(Xn)=2+n/n=3
Essendo la funzione x+1 continua e strettamente crescente,gli
estremi inferiori e superiori (negli intervallini di cui prima)
coincidono con le f(Xi) e quindi le somme s ed S (inferiori e superiori) sono:

s=1/n*[2+(2+1/n)+(2+2/n)+(2+3/n)+....+(2+(n-1)/n)]=
=1/n*[(2n)+1/n*(1+2+...+(n-1)]=1/n*[(2n)+1/n*n(n-1)/2]=5/2-1/(2n)

S=1/n*[2+(2+1/n)+(2+2/n)+(2+3/n)+....+(2+n/n)]=
=1/n*[(2n)+1/n*(1+2+...+n)]=1/n*[(2n)+1/n*n(n+1)/2]=5/2+1/(2n)
Pertanto:
lim[n-->∞]s=lim[n-->∞]S=5/2.
che e' proprio il richiesto valore dell'integrale.
karl.