Somme di funzioni periodiche

[dissonance]

Nel tentativo di risolvere un altro problema, sono incappato in questo:
supponiamo di avere $f,g:A\toRR$ [edit]: $f, g$ siano continue [/edit], $f$ sia $T$-periodica, $g$ sia $S$-periodica, $S!=T$, $S/T$ sia razionale;
ho letto da varie parti (compreso questo forum) che la funzione somma è allora periodica, ed inoltre il periodo è uguale a qualcosa che viene spesso chiamata "minimo comune multiplo": si tratta di trovare i minimi interi $a,b>0$ per cui $aS=bT$, e questa grandezza è esattamente il periodo di $f+g$.
Qualcuno sa aiutarmi a dare una dimostrazione precisa di questo fatto?

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Che sia $(f+g)(x+aS)=(f+g)(x)$ è facile da vedere (basta sviluppare i conti: f(x+aS)=f(x) e g(x+aS)=g(x+bT)=g(x)..).
Ora per mostrare che quello è il periodo bisogna mostrare che è anche il minimo reale positivo per cui vale (ah, spero che $A\subseteq RR$), e basta trovare degli esempi opportuni: la funzione ${\cdot}$ ha periodo 1, {2x} ha periodo 1/2, la loro somma vale 0 solo sui numeri interi (e quindi ha periodo almeno 1).

[dissonance]

buongiorno pic! Si si, $A\subRR$ (in effetti andrebbe bene anche come $subCC, ZZ, QQ$ senza tante differenze).
Allora, vediamo se ho capito bene:
1) $f+g$ è sicuramente una funzione periodica;
2) $aS=bT$ è sicuramente un periodo (come dicevi, basta fare i conti);
3) A questo punto possiamo dire che il periodo minimo di $f+g$ è $<=aS=bT$.

E qui tu mostri un esempio di una possibile $f+g$ il cui periodo minimo è $>=aS=bT$. Giusto?

4) Questo esempio mostra quindi che il periodo minimo non può essere $
Perciò [3), 4)] implicano che il periodo minimo di $f+g$ (*) è esattamente $aS=bT$.

Se le cose stanno così vuol dire che mi sono perso nel classico bicchiere d'acqua! Però c'è un punto che non riesco a spiegarmi: arrivati a (*), come possiamo dire che un periodo minimo esiste? In fondo, funzioni come $x|->0$ non hanno un periodo minimo. Questo è un fatto che credo vada dimostrato per le generiche $f,g$ come sopra.

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Esatto. Proprio per quello ci dobbiamo limitare al punto 3 (0 si può ottenere come sin x + sin (-x)...). Il prossimo step sarebbe provare che se la somma non è costante allora ammette periodo minimo (EDIT: ma anche no, segue un controesempio: prendiamo $f$ la funzione che in [0,1] associa 0 ai razionali e a $\sqrt{2}/2$, 1 a tutto il resto, e poi prolunghiamola su R con periodicità: essa ha periodo 1, inteso come minimo.Presa $g$ che vale 1 su $\sqrt{2}/2+k$, k intero e 0 altrove, abbiamo che f+g non ha periodo minimo [perché? ])

P.S: se fossimo in $CC$ come definiresti il periodo?

[dissonance]

Il fatto di $CC$ l'ho detto a cuor leggero...sinceramente non ci ho riflettuto molto!
Forse si potrebbe dire: $h:CC\toCC$ è $T$-periodica ($T\inRR, T>0$) se $h(z+T)=h(z), \forallz\inCC$. cioè ogni restrizione ad una semiretta passante per l'origine è periodica. Non lo so quanto possa essere corretto comunque.

Tornando al caso $RR\toRR$, rimane quindi da dimostrare che se $f+g$ ($f,g$ come sopra) non è costante, allora ammette un periodo minimo. Il che non mi pare proprio immediato. In simboli:

{$f+g$ non è costante} $Rightarrow$ {$\not$[$\forall\epsilon>0\ \exists0
Qualche idea? Io penso che l'unica sia andare per assurdo.

Una strada alternativa sarebbe, anziché supporre $f+g$ non costante. sfruttare il fatto che $f, g$ hanno periodi diversi: se fosse vero che non c'è un periodo minimo per $f+g$ allora potremmo arrivare ad una contraddizione con questo fatto.

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Ho appena messo un controesempio

Leggi l'edit, lì succede che ogni razionale è 'periodo' (uso impropriamente il termine) di f+g, che sono invece 1-periodiche . Bisogna imporre la continuità per far valere quel che avevo detto.

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"dissonance":Il fatto di $CC$ l'ho detto a cuor leggero...sinceramente non ci ho riflettuto molto!
Forse si potrebbe dire: $h:CC\toCC$ è $T$-periodica ($T\inRR, T>0$) se $h(z+T)=h(z), \forallz\inCC$. cioè ogni restrizione ad una semiretta passante per l'origine è periodica. Non lo so quanto possa essere corretto comunque.

z+T e z non sono, in generale, allineati con O. Comunque nei complessi vanno bene periodi complessi (exp ha periodo $2\pi i$....), solo che bisogna mettersi d'accordo perché non c'è una relazione d'ordine.

[dissonance]

"pic":Bisogna imporre la continuità per far valere quel che avevo detto.

adesso riesco a vedere una luce: non dovrebbe essere difficile mostrare che le uniche funzioni $RR\toRR$ continue, periodiche ma senza periodo minimo sono le costanti.

Perciò se alle ipotesi originarie su $f,g$ aggiungiamo la continuità, otteniamo che $f+g$ è continua. Per quanto detto prima, $f+g$ ammette qualche periodo. Se non ammettesse periodo minimo, allora sarebbe costante: ma questo è smentito dal fatto che $f$ e $g$ hanno periodi (minimi) diversi. Perciò $f+g$ ha periodo minimo, e questo non può essere che $aS=bT$.

Funziona?

P.S: nel tuo controesempio, $f+g$ è la funzione indicatrice dei numeri irrazionali. giusto?

[dissonance]

"dissonance": le uniche funzioni $RR\toRR$ continue, periodiche ma senza periodo minimo sono le costanti.

provo a dimostrarlo: sia $F:RR\toRR$ continua, periodica e senza periodo minimo. Scegliamo $x0$, $x+P_1

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