Somme di Darboux e successioni
Calcolare il limite della seguente successione \( (x_n)_{n\geq0} \) definita da:
\( x_n = \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{n+k} \)
Idea:
\( x_n = \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{n+k}= \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{n}\frac{1}{1+k/n} \)
E poniamo la funzione \( f: [0,1] \rightarrow \mathbb{R} \), \( t \mapsto \frac{1}{1+t} \)
Siano le partizioni \( \sigma_n \) di \([0,1]\) definite in questo modo \( \bigcup_{j=0}^{n-1} [\frac{j}{n}, \frac{j+1}{n} ] \)
Poniamo inoltre \( m_j = \min_{t \in [\frac{j}{n}, \frac{j+1}{n} ]} f(t) = \frac{1}{1+(j+1)/n} \) e,
\( M_j = \max_{t \in [\frac{j}{n}, \frac{j+1}{n} ]} f(t) = \frac{1}{1+j/n} \) e,
\( h_j =\frac{j+1}{n}-\frac{j}{n} =\frac{1}{n} \)
Abbiamo allora che \( s_{\sigma_n}(f) = \sum\limits_{j=0}^{n-1} h_j m_j = \sum\limits_{j=1}^{n} \frac{1}{n}\frac{1}{1+j/n} \)
\( S_{\sigma_n}(f) = \sum\limits_{j=0}^{n-1} h_j M_j = \sum\limits_{j=0}^{n-1} \frac{1}{n}\frac{1}{1+j/n} \)
Il mio dubbio sta qui, sarei tentato di integrare secondo Darboux la funzione \( f \) da \( 0 \) a \( 1 \) ma non so se posso.
Interando mi verrebbe \( \int_{0}^{1} \frac{1}{1+t} dt = \begin{bmatrix}
\ln(1+t)
\end{bmatrix}_{0}^{1}=\ln(2) \)
E sarei tentato di dire che \( \lim\limits_{n \to \infty} x_n = \ln(2) \)
Però il mio dubbio sta nel fatto che abbiamo definito l'integrale in questo modo (usando la stessa notazione di prima):
\( s(f) = \sup \begin{Bmatrix}
s_{\sigma}(f) : \sigma = \text{una partizione di} [0,1]
\end{Bmatrix} \) e,
\( S(f) = \inf \begin{Bmatrix}
S_{\sigma}(f) : \sigma = \text{una partizione di} [0,1]
\end{Bmatrix} \)
E se \(f \) continua in \( [a,b] \) allora \( s(f) = S(f) := \int^{b}_{a} f(x)dx \)
Ora nel modo in cui ho svolto l'esercizio io ho trovato la seguente uguaglianza \( s_{\sigma_n}(f) = x_n \). Però il problema è che non ho idea di cosa valga \( s(f) \) e \( S(f) \) perché appunto e il sup e l'inf di tutte le somme considerando tutte le possibili partizioni dell'intervallo, non considero tutte le partizioni ma solo una classe di partizioni di \( [0,1] \).
In poche parole posso considerare che \( s(f) = \lim\limits_{n \to \infty} s_{\sigma_n}(f) \) e rispettivamente \( S(f) = \lim\limits_{n \to \infty} S_{\sigma_n}(f) \) perché in questo caso potrei dire dire che il limite di \( x_n \) è dato dall'integrale definito della funzione \( f\) su \( [0,1] \) ??
E se si come mai??
Grazie mille.
Domandina di curiosità, come si fanno in LaTeX gli integrali, nel senso se scrivo il comando "\int_{}^{} f(x)dx" mi viene il simbolo dell'integrale della stessa grandezza della "f" della funzione mentre solitamente è più grande (più allungato)
\( x_n = \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{n+k} \)
Idea:
\( x_n = \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{n+k}= \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{n}\frac{1}{1+k/n} \)
E poniamo la funzione \( f: [0,1] \rightarrow \mathbb{R} \), \( t \mapsto \frac{1}{1+t} \)
Siano le partizioni \( \sigma_n \) di \([0,1]\) definite in questo modo \( \bigcup_{j=0}^{n-1} [\frac{j}{n}, \frac{j+1}{n} ] \)
Poniamo inoltre \( m_j = \min_{t \in [\frac{j}{n}, \frac{j+1}{n} ]} f(t) = \frac{1}{1+(j+1)/n} \) e,
\( M_j = \max_{t \in [\frac{j}{n}, \frac{j+1}{n} ]} f(t) = \frac{1}{1+j/n} \) e,
\( h_j =\frac{j+1}{n}-\frac{j}{n} =\frac{1}{n} \)
Abbiamo allora che \( s_{\sigma_n}(f) = \sum\limits_{j=0}^{n-1} h_j m_j = \sum\limits_{j=1}^{n} \frac{1}{n}\frac{1}{1+j/n} \)
\( S_{\sigma_n}(f) = \sum\limits_{j=0}^{n-1} h_j M_j = \sum\limits_{j=0}^{n-1} \frac{1}{n}\frac{1}{1+j/n} \)
Il mio dubbio sta qui, sarei tentato di integrare secondo Darboux la funzione \( f \) da \( 0 \) a \( 1 \) ma non so se posso.
Interando mi verrebbe \( \int_{0}^{1} \frac{1}{1+t} dt = \begin{bmatrix}
\ln(1+t)
\end{bmatrix}_{0}^{1}=\ln(2) \)
E sarei tentato di dire che \( \lim\limits_{n \to \infty} x_n = \ln(2) \)
Però il mio dubbio sta nel fatto che abbiamo definito l'integrale in questo modo (usando la stessa notazione di prima):
\( s(f) = \sup \begin{Bmatrix}
s_{\sigma}(f) : \sigma = \text{una partizione di} [0,1]
\end{Bmatrix} \) e,
\( S(f) = \inf \begin{Bmatrix}
S_{\sigma}(f) : \sigma = \text{una partizione di} [0,1]
\end{Bmatrix} \)
E se \(f \) continua in \( [a,b] \) allora \( s(f) = S(f) := \int^{b}_{a} f(x)dx \)
Ora nel modo in cui ho svolto l'esercizio io ho trovato la seguente uguaglianza \( s_{\sigma_n}(f) = x_n \). Però il problema è che non ho idea di cosa valga \( s(f) \) e \( S(f) \) perché appunto e il sup e l'inf di tutte le somme considerando tutte le possibili partizioni dell'intervallo, non considero tutte le partizioni ma solo una classe di partizioni di \( [0,1] \).
In poche parole posso considerare che \( s(f) = \lim\limits_{n \to \infty} s_{\sigma_n}(f) \) e rispettivamente \( S(f) = \lim\limits_{n \to \infty} S_{\sigma_n}(f) \) perché in questo caso potrei dire dire che il limite di \( x_n \) è dato dall'integrale definito della funzione \( f\) su \( [0,1] \) ??
E se si come mai??
Grazie mille.
Domandina di curiosità, come si fanno in LaTeX gli integrali, nel senso se scrivo il comando "\int_{}^{} f(x)dx" mi viene il simbolo dell'integrale della stessa grandezza della "f" della funzione mentre solitamente è più grande (più allungato)
Risposte
Il simbolo grande si ottiene mettendo le formule in display: racchiudile tra "\ [" e "\ ]" (senza spazio).
Quanto all'integrale, il tuo svolgimento va bene. La somma parziale è, per costruzione, compresa tra \(s_n\) e \(S_n\); ora, entrambe le successioni tendono a \(\log 2\) e quindi pure la somma parziale tende a \(\log 2\).
Quanto all'integrale, il tuo svolgimento va bene. La somma parziale è, per costruzione, compresa tra \(s_n\) e \(S_n\); ora, entrambe le successioni tendono a \(\log 2\) e quindi pure la somma parziale tende a \(\log 2\).
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