Somme di cauchy
qualcuno mi puo dare una definizone di somme di cauchy che serve per poi definire l'integrale di cauchy riemann?
grazie!!
grazie!!
Risposte
dato un intervallo chiuso e limitato $[a,b]$ di $RR$
data $f:[a,b] -> RR$
sia data una partizione $P$ di $[a,b]$, cioè $(x_0,\ldots,x_n)$ con le solite condizioni
sia data la $n$-pla $\Xi = (\xi_1,\ldots,\xi_n)$, con $\xi_i \in [x_{i-1},x_i]$, per $i \in {1,\ldots,n}$
si definisce somma di Cauchy associata a $P$ e $\Xi$:
$S(f,P,\Xi) = \sum_{i=1}^n f(\xi_i) \cdot (x_i - x_{i-1})$
ma non c'è sul libro che stai, presumo, studiando?
data $f:[a,b] -> RR$
sia data una partizione $P$ di $[a,b]$, cioè $(x_0,\ldots,x_n)$ con le solite condizioni
sia data la $n$-pla $\Xi = (\xi_1,\ldots,\xi_n)$, con $\xi_i \in [x_{i-1},x_i]$, per $i \in {1,\ldots,n}$
si definisce somma di Cauchy associata a $P$ e $\Xi$:
$S(f,P,\Xi) = \sum_{i=1}^n f(\xi_i) \cdot (x_i - x_{i-1})$
ma non c'è sul libro che stai, presumo, studiando?
"Fioravante Patrone":
dato un intervallo chiuso e limitato $[a,b]$ di $RR$
data $f:[a,b] -> RR$
sia data una partizione $P$ di $[a,b]$, cioè $(x_0,\ldots,x_n)$ con le solite condizioni
sia data la $n$-pla $\Xi = (\xi_1,\ldots,\xi_n)$, con $\xi_i \in [x_{i-1},x_i]$, per $i \in {1,\ldots,n}$
si definisce somma di Cauchy associata a $P$ e $\Xi$:
$S(f,P,\Xi) = \sum_{i=1}^n f(\xi_i) \cdot (x_i - x_{i-1})$
ma non c'è sul libro che stai, presumo, studiando?
no. xke nella versione che ho trovato del libro che mi hai consigliato non ne parla. In biblioteca si trova solo quella versione.
di che anno è la tua versione?
ah, sei tu!
non ci avevo fatto caso
alla tua domanda avevo già risposto:
https://www.matematicamente.it/f/viewtop ... 411#119411
però non capisco una cosa
ti serve per un esame?
immagino sia nel programma, questa roba
e, qundi, dovrebbe essere spiegata a lezione, o esserci appunti ad hoc, o esserci delle indicazioni bibliografiche
chiedi al prof
se non è per questo, puoi comunque chiedere indicazioni a chi ti ha proposto di affrontare questo argomento
è per tua curiosità e diletto personale? Non credo, visto l'incipit del tup primo post: "devo dimostrare..."
insomma, esistono dei "risponditori naturali" ai quali puoi rivolgerti
che ti hanno detto?
tieni presente che la dim dell'equivalenza fra integrale di Riemann e di Cauchy non è roba stratosferica, ma non è neanche banalotta o liquidabile in due righe!
non ci avevo fatto caso
alla tua domanda avevo già risposto:
https://www.matematicamente.it/f/viewtop ... 411#119411
però non capisco una cosa
ti serve per un esame?
immagino sia nel programma, questa roba
e, qundi, dovrebbe essere spiegata a lezione, o esserci appunti ad hoc, o esserci delle indicazioni bibliografiche
chiedi al prof
se non è per questo, puoi comunque chiedere indicazioni a chi ti ha proposto di affrontare questo argomento
è per tua curiosità e diletto personale? Non credo, visto l'incipit del tup primo post: "devo dimostrare..."
insomma, esistono dei "risponditori naturali" ai quali puoi rivolgerti
che ti hanno detto?
tieni presente che la dim dell'equivalenza fra integrale di Riemann e di Cauchy non è roba stratosferica, ma non è neanche banalotta o liquidabile in due righe!
"Fioravante Patrone":
ah, sei tu!
non ci avevo fatto caso
alla tua domanda avevo già risposto:
https://www.matematicamente.it/f/viewtop ... 411#119411
però non capisco una cosa
ti serve per un esame?
immagino sia nel programma, questa roba
e, qundi, dovrebbe essere spiegata a lezione, o esserci appunti ad hoc, o esserci delle indicazioni bibliografiche
chiedi al prof
se non è per questo, puoi comunque chiedere indicazioni a chi ti ha proposto di affrontare questo argomento
è per tua curiosità e diletto personale? Non credo, visto l'incipit del tup primo post: "devo dimostrare..."
insomma, esistono dei "risponditori naturali" ai quali puoi rivolgerti
che ti hanno detto?
tieni presente che la dim dell'equivalenza fra integrale di Riemann e di Cauchy non è roba stratosferica, ma non è neanche banalotta o liquidabile in due righe!
eh mi serve per la tesi
La mia tesi introduce l integrale di riemann e di lebegue con un confronto e poi spiego due "modi alternativi" per definire l integrale di riemann; uno sarebbe l integrale alla cauchy. non l ho mai affrontata nei corsi questa roba; il mio relatore mi ha invitato a ragionarci sopra sulla dimostrazione che l integrale di riemann e l integrale di cauchy sono la stessa cosa ... per aiutarmi ho provato a cercare nei libri di testo e nel testo che mi hai consigliato ma non ho trovato niente e nemmeno in rete si trova un granchè....
comunque dimmi se è capito bene. la differenza tra i due integrali è che nell integrale di riemann per calcoalre le aree prendo il sup e l inf di f(x) negli intervallini della partizione mentre in quello di cauchy prendo un punto qualsiasi interno agli intervallini. giusto??
Per definire l integrale di cauchy prima definisco la somma di cauchy associata alla partizione P nel modo che mi hai scritto e poi va bene dire: si dice che f è integrabile alla cauchy se esistse il limite delle somme di cauchy al tendere di n ad infinito.
grazie davvero!!!!
"ulisse80":
comunque dimmi se è capito bene. la differenza tra i due integrali è che nell integrale di riemann per calcoalre le aree prendo il sup e l inf di f(x) negli intervallini della partizione mentre in quello di cauchy prendo un punto qualsiasi interno agli intervallini. giusto??
giusto
"ulisse80":
Per definire l integrale di cauchy prima definisco la somma di cauchy associata alla partizione P nel modo che mi hai scritto e poi va bene dire: si dice che f è integrabile alla cauchy se esistse il limite delle somme di cauchy al tendere di n ad infinito.
l'idea è questa, ma tieni presente che si tratta di un limite di una successione generalizzata (o "net"), deinita su un insieme diretto
parlare di net mi ha fatto venire il mente il beneamato Kelley ("General Topology"; vedi cap 2, "Moore-Smith Convergence").
Mi sono arrampicato per recuperarlo da uno scaffale alto della mia libreria...
Nell'esercizio "H" (Integration theory, utility grade) trovi le cose che servono, direi. Sinteticamente, ma fatto bene come tutto il libro!
"Fioravante Patrone":
[quote="ulisse80"]
comunque dimmi se è capito bene. la differenza tra i due integrali è che nell integrale di riemann per calcoalre le aree prendo il sup e l inf di f(x) negli intervallini della partizione mentre in quello di cauchy prendo un punto qualsiasi interno agli intervallini. giusto??
giusto
"ulisse80":
Per definire l integrale di cauchy prima definisco la somma di cauchy associata alla partizione P nel modo che mi hai scritto e poi va bene dire: si dice che f è integrabile alla cauchy se esistse il limite delle somme di cauchy al tendere di n ad infinito.
l'idea è questa, ma tieni presente che si tratta di un limite di una successione generalizzata (o "net"), deinita su un insieme diretto
parlare di net mi ha fatto venire il mente il beneamato Kelley ("General Topology"; vedi cap 2, "Moore-Smith Convergence").
Mi sono arrampicato per recuperarlo da uno scaffale alto della mia libreria...
Nell'esercizio "H" (Integration theory, utility grade) trovi le cose che servono, direi. Sinteticamente, ma fatto bene come tutto il libro![/quote]
ok. lo cerco!! grazie davvero!!!
mi dai un input x pia x come fare la dimostrazione che integrale di riemann e di cauchy se esistono sono uguali?
Lemma (riguarda l'integrale di Riemann, s ed S sono somme inferiori e superiori
$f$ è integrabile su $[a,b]$
se e solo se
esistono i due limiti: $ Lim_{||P||to0} s(P,f)$, $ Lim_{||P||to0} S(P,f)$ e sono uguali
Corollario
$f$ è integrabile (nel senso di Riemann) su $[a,b]$
se e solo se
esiste ed è reale $ Lim_{||P||to0} S(f,P,\Xi)$
$S(f,P,\Xi)$ indica una "somma di Cauchy", come definito in un post precedente
ti conviene però davvero cercare di reperire un testo dove siano fatte
$f$ è integrabile su $[a,b]$
se e solo se
esistono i due limiti: $ Lim_{||P||to0} s(P,f)$, $ Lim_{||P||to0} S(P,f)$ e sono uguali
Corollario
$f$ è integrabile (nel senso di Riemann) su $[a,b]$
se e solo se
esiste ed è reale $ Lim_{||P||to0} S(f,P,\Xi)$
$S(f,P,\Xi)$ indica una "somma di Cauchy", come definito in un post precedente
ti conviene però davvero cercare di reperire un testo dove siano fatte
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