[Sommatorie]Cambio dell'indice

[HackAlli]

Salve
Oggi mi è capitata davanti questa sommatoria :
\( \sum_{j=0}^{d-1}{\log_2(n-2j)} \)
ed in un passaggio successivo ho visto che l'ha risolta così:
\( \sum_{j=1}^d{\log_2 2j} \)
Non riesco a capire come è arrivato a questo risultato e quali proprietà ha usato. ,
Potreste aiutarmi?

[Brancaleone1]

Ci deve essere una qualche operazione o ipotesi di mezzo perché non sono equivalenti.
Puoi postare i passaggi?

[HackAlli]

L'esercizio era un equazione di ricorrenza di un algoritmo definita in questo modo:
\[ T(n) =
\begin{cases}
1 & \text{, se } n=0 \\ T(n-2) + \log_2 (n) & \text{, se } n>2d
\end{cases}
\]
risolvendola arrivo al punto di trovare che è
\[
T(n-2i)= T(n-2i) + \sum_{j=0}^{i-1}{log_2(n-2j)}
\]
ponendo i = d abbiamo
\[
T(0) + \sum_{j=0}^{d-1}log_2(n-2j)
\]
per cui viene
\[
1 + \sum_{j=1}^{d}log_2(2j)
\]