Sommatorie e progressione geometrica
Buonasera a tutti, mi trovo in grande difficoltà qualcuno potrebbe aiutarmi a capire tutti i passaggi eseguiti in questa dimostrazione. Le proprietà delle sommatorie che sono state applicate sono: prodotto per una costante, scomposizione di una sommatoria e traslazione di indici. Gli argomenti in questione sono le sommatorie e la progressione geometrica (Materia: Analisi Matematica 1). Vi ringrazio in anticipo!
$(1 - q) \sum_{k = 0}^n (q^k) = 1 - q^{n + 1} $
$ (1 - q) \sum_{k = 0}^n (q^k) = \sum_{k = 0}^n q^k - q \sum_{k = 0}^n q^{k} = \sum_{k = 0}^n q^k - \sum_{k = 0}^n q^{k + 1} $
$ = \sum_{k = 0}^n q^k - \sum_{k = 1}^{n + 1} q^k = 1 + \sum_{k = 1}^n q^k - (\sum_{k = 1}^n q^k + q^{n + 1}) $
$ = 1 + \sum_{k = 1}^n q^k - \sum_{k = 1}^n q^k - q^{n + 1} = 1 - q^{n + 1} $
$(1 - q) \sum_{k = 0}^n (q^k) = 1 - q^{n + 1} $
$ (1 - q) \sum_{k = 0}^n (q^k) = \sum_{k = 0}^n q^k - q \sum_{k = 0}^n q^{k} = \sum_{k = 0}^n q^k - \sum_{k = 0}^n q^{k + 1} $
$ = \sum_{k = 0}^n q^k - \sum_{k = 1}^{n + 1} q^k = 1 + \sum_{k = 1}^n q^k - (\sum_{k = 1}^n q^k + q^{n + 1}) $
$ = 1 + \sum_{k = 1}^n q^k - \sum_{k = 1}^n q^k - q^{n + 1} = 1 - q^{n + 1} $
Risposte
Il crossposting è vietato, elimina l'altro messaggio fotocopia di questo.
Inoltre non si mettono foto che poi spariscono ma vanno scritte le formule.
Inoltre non si mettono foto che poi spariscono ma vanno scritte le formule.
Quali sono i passaggi che non sono chiari? Non dirmi tutti ...
"axpgn":
Il crossposting è vietato, elimina l'altro messaggio fotocopia di questo.
Inoltre non si mettono foto che poi spariscono ma vanno scritte le formule.
Ho eliminato l'altro messaggio... per quanto riguarda le foto sto riscontrando delle difficoltà nel scrivere l'esercizio sotto forma di formula!
"axpgn":
Quali sono i passaggi che non sono chiari? Non dirmi tutti ...
Gli ultimi tre passaggi...
Ciao gigiulbi,
Benvenut* sul forum!
Considerando che sei ai tuoi primi messaggi, ti scrivo io quanto dovresti scrivere al posto delle immagini nel tuo OP:
$(1 - q) \sum_{k = 0}^n (q^k) = 1 - q^{n + 1} $
Ti risponderò solo dopo che avrai eliminato le immagini dall'OP.
$(1 - q) \sum_{k = 0}^n (q^k) = \sum_{k = 0}^n q^k - q \sum_{k = 0}^n q^{k} = \sum_{k = 0}^n q^k - \sum_{k = 0}^n q^{k + 1} = $
$ = \sum_{k = 0}^n q^k - \sum_{k = 1}^{n + 1} q^k = 1 + \sum_{k = 1}^n q^k - (\sum_{k = 1}^n q^k + q^{n + 1}) = $
$ = 1 + \sum_{k = 1}^n q^k - \sum_{k = 1}^n q^k - q^{n + 1} = 1 - q^{n + 1} $
Benvenut* sul forum!
Considerando che sei ai tuoi primi messaggi, ti scrivo io quanto dovresti scrivere al posto delle immagini nel tuo OP:
$(1 - q) \sum_{k = 0}^n (q^k) = 1 - q^{n + 1} $
$(1 - q) \sum_{k = 0}^n (q^k) = 1 - q^{n + 1} $
Ti risponderò solo dopo che avrai eliminato le immagini dall'OP.
$(1 - q) \sum_{k = 0}^n (q^k) = \sum_{k = 0}^n q^k - q \sum_{k = 0}^n q^{k} = \sum_{k = 0}^n q^k - \sum_{k = 0}^n q^{k + 1} = $
$ = \sum_{k = 0}^n q^k - \sum_{k = 1}^{n + 1} q^k = 1 + \sum_{k = 1}^n q^k - (\sum_{k = 1}^n q^k + q^{n + 1}) = $
$ = 1 + \sum_{k = 1}^n q^k - \sum_{k = 1}^n q^k - q^{n + 1} = 1 - q^{n + 1} $
$(1 - q) \sum_{k = 0}^n (q^k) = \sum_{k = 0}^n q^k - q \sum_{k = 0}^n q^{k} = \sum_{k = 0}^n q^k - \sum_{k = 0}^n q^{k + 1} = $
$ = \sum_{k = 0}^n q^k - \sum_{k = 1}^{n + 1} q^k = 1 + \sum_{k = 1}^n q^k - (\sum_{k = 1}^n q^k + q^{n + 1}) = $
$ = 1 + \sum_{k = 1}^n q^k - \sum_{k = 1}^n q^k - q^{n + 1} = 1 - q^{n + 1} $
"pilloeffe":
Ciao gigiulbi,
Benvenut* sul forum!
Considerando che sei ai tuoi primi messaggi, ti scrivo io quanto dovresti scrivere al posto delle immagini nel tuo OP:
$(1 - q) \sum_{k = 0}^n (q^k) = 1 - q^{n + 1} $
$(1 - q) \sum_{k = 0}^n (q^k) = 1 - q^{n + 1} $
Ti risponderò solo dopo che avrai eliminato le immagini dall'OP.
$(1 - q) \sum_{k = 0}^n (q^k) = \sum_{k = 0}^n q^k - q \sum_{k = 0}^n q^{k} = \sum_{k = 0}^n q^k - \sum_{k = 0}^n q^{k + 1} = $
$ = \sum_{k = 0}^n q^k - \sum_{k = 1}^{n + 1} q^k = 1 + \sum_{k = 1}^n q^k - (\sum_{k = 1}^n q^k + q^{n + 1}) = $
$ = 1 + \sum_{k = 1}^n q^k - \sum_{k = 1}^n q^k - q^{n + 1} = 1 - q^{n + 1} $
$(1 - q) \sum_{k = 0}^n (q^k) = \sum_{k = 0}^n q^k - q \sum_{k = 0}^n q^{k} = \sum_{k = 0}^n q^k - \sum_{k = 0}^n q^{k + 1} = $ $ = \sum_{k = 0}^n q^k - \sum_{k = 1}^{n + 1} q^k = 1 + \sum_{k = 1}^n q^k - (\sum_{k = 1}^n q^k + q^{n + 1}) = $ $ = 1 + \sum_{k = 1}^n q^k - \sum_{k = 1}^n q^k - q^{n + 1} = 1 - q^{n + 1} $
Buonasera pilloeffe, ho cancellato le foto ed ho anche copiato i codici che ha scritto nel testo. La ringrazio in anticipo!
"gigiulbi":
ho cancellato le foto ed ho anche copiato i codici che ha scritto nel testo. La ringrazio in anticipo!
Ottimo, ma non mi dare del lei che sul forum non si usa e poi mi fai sentire anche più vecchio di quello che sono...
Gli ultimi 3 passaggi:
$1 + \sum_{k = 1}^n q^k - (\sum_{k = 1}^n q^k + q^{n + 1}) $
Nella prima sommatoria ha semplicemente scritto esplicitamente il primo termine (quello per $k = 0 $), quindi resta la sommatoria dei termini per $k $ che va da $1$ a $n$; nella seconda sommatoria invece ha scritto esplicitamente l'ultimo termine, quello che si ottiene per $k = n + 1 $. Perché fa questo? Perché così le due sommatorie del passaggio successivo sono uguali, ma con segno opposto:
$1 + \sum_{k = 1}^n q^k - \sum_{k = 1}^n q^k - q^{n + 1} $
Sicché si possono semplificare le due sommatorie in mezzo e si ottiene proprio $ 1 - q^{n + 1} $
"pilloeffe":
[quote="gigiulbi"]ho cancellato le foto ed ho anche copiato i codici che ha scritto nel testo. La ringrazio in anticipo!
Ottimo, ma non mi dare del lei che sul forum non si usa e poi mi fai sentire anche più vecchio di quello che sono...
Gli ultimi 3 passaggi:
$1 + \sum_{k = 1}^n q^k - (\sum_{k = 1}^n q^k + q^{n + 1}) $
Nella prima sommatoria ha semplicemente scritto esplicitamente il primo termine (quello per $k = 0 $), quindi resta la sommatoria dei termini per $k $ che va da $1$ a $n$; nella seconda sommatoria invece ha scritto esplicitamente l'ultimo termine, quello che si ottiene per $k = n + 1 $. Perché fa questo? Perché così le due sommatorie del passaggio successivo sono uguali, ma con segno opposto:
$1 + \sum_{k = 1}^n q^k - \sum_{k = 1}^n q^k - q^{n + 1} $
Sicché si possono semplificare le due sommatorie in mezzo e si ottiene proprio $ 1 - q^{n + 1} $[/quote]
Un ultima domanda; ma +1 all'inizio del passaggio tre dove è stato ricavato?
"gigiulbi":
Un ultima domanda; ma +1 all'inizio del passaggio tre dove è stato ricavato?
$k=0$
Te l'ho già scritto nel mio messaggio precedente e te l'ha ribadito anche ghira, esplicitamente:
$\sum_{k = 0}^n q^k = q^0 + \sum_{k = 1}^n q^k = 1 + \sum_{k = 1}^n q^k $
Ti chiederei la cortesia di rispondere ai messaggi usando il pulsante RISPONDI e non il pulsante ''CITA: nella stragrande maggioranza dei casi non è necessario citare tutta la risposta di chi ti ha risposto, cosa che fra l'altro appesantisce inutilmente la lettura del thread, casomai solo la parte che ti interessa evidenziare. Comunque tranquillo: quando abbiamo iniziato a frequentare il forum ci siamo cascati (quasi) tutti (sottoscritto incluso... ).
$\sum_{k = 0}^n q^k = q^0 + \sum_{k = 1}^n q^k = 1 + \sum_{k = 1}^n q^k $
Ti chiederei la cortesia di rispondere ai messaggi usando il pulsante RISPONDI e non il pulsante ''CITA: nella stragrande maggioranza dei casi non è necessario citare tutta la risposta di chi ti ha risposto, cosa che fra l'altro appesantisce inutilmente la lettura del thread, casomai solo la parte che ti interessa evidenziare. Comunque tranquillo: quando abbiamo iniziato a frequentare il forum ci siamo cascati (quasi) tutti (sottoscritto incluso...
).
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