Sommatorie

[Gianky2]

Buongiorno ragazzi,
nello studio di una dimostrazione (sul laplaciano in teoria delle distribuzioni) non riesco a capire un passaggio:
perchè $ sum_(i=1)1/rho $ = n/ $ rho $ ?
In particolare i varia da 1 a n e $ rho = sqrt(x_1^2+x_2^2+...+x_n^2) $
Grazie dell'aiuto

[gugo82]

Beh, scusa:
\[
\sum_{i=1}^n \frac{1}{\rho} = \underbrace{\frac{1}{\rho} + \frac{1}{\rho} +\cdots + \frac{1}{\rho}}_{n \text{ volte}} = \frac{n}{\rho}\; .
\]

[Gianky2]

Ma $ 1/rho $ non ha indice e questo che mi manda in tilt!!
@Gugo su cosa sommo?

[gugo82]

Ti perdi in un bicchiere da'acqua: quando gli addendi di una sommatoria non dipendono dall'indice vuol dire che stai sommando una costante a se stessa tante volte quanto indicato nella sommatoria.
Quindi, la scrittura esplicita della sommatoria ed il suo risultato sono quelli che ho scritto sopra.

Un altro modo di vederla è che:
\[
\sum_{i=1}^n \frac{1}{\rho} = \frac{1}{\rho}\ \sum_{i=1}^n 1 = \frac{1}{\rho}\ \big( \underbrace{1+1+\cdots +1}_{n \text{ volte}}\big) = \frac{n}{\rho}\; .
\]

[Gianky2]

Eh si grazie. Sei stato molto gentile a rispondermi subito anche!!!

[gugo82]

Prego figurati.

Ovviamente (lo scrivo esplicitamente, anche se va da sé), per ogni "costante" \(C\) si ha:
\[
\sum_{i=n_1}^{n_2} C = C\ (n_2-n_1+1)
\]
per ogni coppia di indici \(n_1\leq n_2\).