Sommatoria di potenze k-esime

[boba1]

Ciao a tutti!
avrei una domanda da porvi: il mio prof di analisi ci ha chiesto di dimostrare con il principio di induzione la formula per calcolare $1^k$+$2^K$+$3^K$+$n^K$, dopo averla cercata su internet. .Il mio problema è che non riesco a trovare la formula generalizzata per ogni k, ma solo quella per k uguale a 2 o 3. Qualcuno potrebbe aiutarmi?
Grazie mille in anticipo

[PZf]

In questo thread si parla della somma di quadrati.
Il ragionamento proposto da theras può essere generalizzato in modo immediato per ricavare la somma delle prime $n$ potenze $k$-esime in funzione delle somme simili, ma con esponenti più bassi.

[gugo82]

Soluzione:

Sia \(p_k(n)\) la funzione che ad ogni \(n\) associa una forma chiusa per \(\sum_{h=1}^n h^k\).
È possibile determinare un'equazione ricorrente per \(p_k\) usando un trucchetto (quello di theras opportunamente generalizzato): infatti si ha:
\[
\begin{split}
\sum_{h=2}^{n+1} h^k &=p_k (n) + \sum_{i=1}^k \binom{k}{i} n^i\\
\sum_{h=2}^{n+1} h^k &= \sum_{h=1}^n (h+1)^k \\
&= \sum_{h=1}^n \sum_{i=0}^k \binom{k}{i}\ h^i\\
&= \sum_{i=0}^k \binom{k}{i}\ \sum_{h=1}^n h^i\\
&= \sum_{i=0}^k \binom{k}{i}\ \sum_{h=1}^{n-1} h^i + \sum_{i=0}^k \binom{k}{i}\ n^i
\end{split}
\]
da cui, uguagliando gli ultimi membri delle precedenti, si trae:
\[
p_k (n) = \sum_{i=0}^k \binom{k}{i}\ \sum_{h=1}^{n-1} h^i = \sum_{i=0}^k \binom{k}{i}\ p_i(n-1)\; ,
\]
che scritta meglio diventa:
\[
p_k (n+1) = \sum_{i=0}^k \binom{k}{i}\ p_i(n)\; .
\]
L'ultima è una relazione ricorrente che lega il valore di \(p_k(n+1)\) con quello di tutti i \(p_i(n)\) con \(i=0,\ldots ,k\); quindi essa può servire per definire le funzioni \(p_k\) per ricorrenza.
L'unica cosa che manca è (1) determinare esplicitamente \(p_0(n)\) per ogni \(n\) e (2) determinare esplicitamente \(p_k(1)\) per ogni \(k\) (queste servono come base per far funzionare la definizione ricorrente di \(p_k(n)\)).
Ma ciò è molto semplice: infatti si ha:
\[
p_0(n)=\sum_{h=1}^n h^0 = \sum_{h=1}^n 1 = n
\]
e pure:
\[
p_k(1)=\sum_{h=1}^1 h^k =1\; .
\]
Pertanto, la ricorrenza:
\[
\tag{R}
\begin{cases}
p_k (n+1) = \sum_{i=0}^k \binom{k}{i}\ p_i(n)\\
p_0(n)=n &\text{, per } n=1,2,3,\ldots \\
p_k(1)=1 &\text{, per } k=0,1,2,\ldots
\end{cases}
\]
è la formula che serve.

Se serve a capire perchè c'è bisogno di due condizioni iniziali per far funzionare la ricorrenza (R), forse può giovare farsi un disegno del genere:
\[
\begin{matrix}
p_0(1) & p_0(2) & p_0(3) &\cdots & p_0(n-1) & p_0(n) &\cdots \\
p_1(1) & p_1(2) & p_1(3) &\cdots & p_1(n-1) & p_1(n) &\cdots \\
p_2(1) & p_2(2) & p_2(3) &\cdots & p_2(n-1) & p_2(n) &\cdots \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \cdots\\
p_{k-1}(1) & p_{k-1}(2) & p_{k-1}(3) &\cdots & p_{k-1} (n-1) & p_{k-1} (n) &\cdots \\
p_k(1) & p_k(2) & p_k(3) &\cdots & p_k(n-1) & p_k(n) &\cdots \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \cdots
\end{matrix}
\]
Se \(k\geq 1\) ed \(n\geq 2\), l'elemento \(p_k(n)\) si esprime come combinazione lineare dei valori \(p_0(n-1), p_1(n-1), \ldots p_{k-1}(n-1),\ p_k(n-1)\), evidenziati in colore nella tabella seguente:
\[
\begin{matrix}
p_0(1) & p_0(2) & p_0(3) &\cdots & \color{maroon}{p_0(n-1)} & p_0(n) &\cdots \\
p_1(1) & p_1(2) & p_1(3) &\cdots & \color{maroon}{p_1(n-1)} & p_1(n) &\cdots \\
p_2(1) & p_2(2) & p_2(3) &\cdots & \color{maroon}{p_2(n-1)} & p_2(n) &\cdots \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \color{maroon}{\vdots} & \vdots & \cdots\\
p_{k-1}(1) & p_{k-1}(2) & p_{k-1}(3) &\cdots & \color{maroon}{p_{k-1} (n-1)} & p_{k-1} (n) &\cdots \\
p_k(1) & p_k(2) & p_k(3) &\cdots & p_k(n-1) & \boxed{p_k(n)} &\cdots \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \cdots
\end{matrix}
\]
quindi la ricorrenza da sola può determinare solo la parte di tabella evidenziata:
\[
\begin{matrix}
p_0(1) & p_0(2) & p_0(3) &\cdots & p_0(n-1) & p_0(n) &\cdots \\
p_1(1) & \color{black}{p_1(2)} & \color{black}{p_1(3)} & \color{black}{\cdots} & \color{black}{p_1(n-1)} & \color{black}{p_1(n)} & \color{black}{\cdots} \\
p_2(1) & \color{black}{p_2(2)} & \color{black}{p_2(3)} & \color{black}{\cdots} & \color{black}{p_2(n-1)} & \color{black}{p_2(n)} & \color{black}{\cdots} \\
\vdots & \color{black}{\vdots} & \color{black}{\vdots} & \color{black}{\ddots} & \color{black}{\vdots} & \color{black}{\vdots} & \color{black}{\cdots}\\
p_{k-1}(1) & \color{black}{p_{k-1}(2)} & \color{black}{p_{k-1}(3)} & \color{black}{\cdots} & \color{black}{p_{k-1} (n-1)} & \color{black}{p_{k-1} (n)} & \color{black}{\cdots} \\
p_k(1) & \color{black}{p_k(2)} & \color{black}{p_k(3) }& \color{black}{\cdots} & \color{black}{p_k(n-1)} & \color{black}{p_k(n)} & \color{black}{\cdots} \\
\vdots & \color{black}{\vdots} & \color{black}{\vdots} & \color{black}{\ddots} & \color{black}{\vdots} & \color{black}{\vdots} & \color{black}{\cdots}
\end{matrix}
\]
ma lascia del tutto indeterminate la prima riga e la prima colonna, le quali devono necessariamente essere individuate a parte con le condizioni iniziali.

***

Rilancio:
Usando la (R), dimostrare che \(p_k(n)\) è un polinomio in \(n\) di grado \(k+1\).
È possibile determinare esplicitamente il parametro direttore di \(p_k\) (ossia il coefficiente di \(n^{k+1}\) in \(p_k(n)\))?

[PZf]

@gugo82: Ho un paio di dubbi.

Dove uguaglia i membri delle due espressioni iniziali per poi ottenere
\[
p_k (n) = \sum_{i=0}^k \binom{k}{i}\ \sum_{h=1}^{n-1} h^i = \sum_{i=0}^k \binom{k}{i}\ p_i(n-1)\; ,
\]
non dovrebbe apparire un $1$ da qualche parte a causa del fatto che nella prima espressione l'indice della sommatoria a secondo membro parte da 1, mentre nella seconda espressione l'analoga sommatoria parte da 0?


Alla fine ottiene la ricorrenza \[p_k (n+1) = \sum_{i=0}^k \binom{k}{i}\ p_i(n)\]
(tralascio qui le condizioni iniziali e la correzione che da quanto ho detto sopra sospetto che vada fatta).
Sbaglio o $p_k(n+1)$ è espressa in funzione delle $p_i(n)$ con $i\leq k$, $k$ compreso? A questo punto potremmo semplicemente scrivere $p_k(n+1)=p_k(n)+(n+1)^k$

Personalmente credo che bisognerebbe fare un paio di passaggi in più per esplicitare, partendo dalla formula da lei scritta, $p_{k-1}(n)$ in funzione delle $p_{i}(n)$ con $i
Ciò che risulta a me (aggiungendo anche quell'"$1$") è
\[
p_k(n)=\frac{{(n+1)^{k+1}-1-\sum_{i=0}^{k-1}\binom{k+1}{i}p_i(n)}}{k+1}
\]
da cui si prova semplicemente per induzione che $p_k(n)$ è un polinomio in $n$ di grado $k+1$ e anche che il parametro direttore è $1/(k+1)$

[gugo82]

@ PZf: Innanzitutto, ci si dà del tu sul forum.
Poi, è probabile che abbia sbagliato qualche passaggio (ché ieri ero di fretta): controllerò.
Grazie per averlo segnalato.