Sommatoria dei primi n cubi dei numeri naturali

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Come si vede dalla figura, l'area di un quadrato di lato $sum_(k=1)^n k$ si può ottenere sommando successivi "gusci" ciascuno formato da tre figure: due rettangoli di lati $sum_(k=1)^(n-1) k$ e $n$, e un quadrato di lato $n$, quindi:
$2sum_(k=1)^(n-1) k*n+n^2 = 2sum_(k=1)^n k*n-n^2 = 2sum_(k=1)^n k*n - n*sum_(k=1)^n 1 = n*sum_(k=1)^n (2k-1) =n*n^2 = n^3 $
Quindi l'area del quadrato grande sarà la somma dei contributi dei vari gusci successivi, e sarà vera l'uguaglianza:
$(sum_(k=1)^n k)^2 =sum_(k=1)^n k^3 = sum_(k=1)^n k*sum_(l=1)^k (2l-1) $
Da cui si ricava la formula:
$sum_(k=1)^n k^3 = (n/2(n+1))^2$

La domanda è:
Utilizzando solo le proprietà delle sommatorie, in particolare le proprietà delle sommatore di sommatorie (che non conosco) si può passare dall'una all'altra sommatoria senza aiutarsi con la figura ??
Per favore, non mi interessano dimostrazioni per ricorrenza, o che utilizzino qualsiasi altra cosa che non siano le proprietà delle sommatorie...