Sommatoria con combinazioni
ciao,
sono una nuova iscritta e mi scuso in anticipo se ho fatto qualche errore nello scrivere questo nuovo argomento, ma sono tre pomeriggi che cerco di verificare questo:
$\sum_{k=m}^n(k!)/(m!*(k-m)!)$=$((n+1)!)/((m+1)!*(n-m)!)$ per ogni m,n $in$ $NN$, con $n>=m>=0$
ho provato varie scomposizioni, cambi di variabile e come ultimo tentativo sono arrivata a:
$\sum_{k=m}^n(k!)/(m!*(k-m)!)$=$\sum_{k=m+1}^(n+1)(k!)/(m!*(k-m)!)-\sum_{k=m}^n(k!)/((m-1)!*(k-m+1)!)$
ma non sono riuscita a raccogliere nulla o comunque ad arrivare alla soluzione.
Probabilmente una mia lacuna sta nel fatto di non aver capito questo passaggio in un esercizio svolto:
$\sum_{k=0}^n((n!)/((n-k)!*k!*n^k)$=$\sum_{k=0}^n((n*(n-1)*..*(n-k+1))/(k!*n^k))$
grazie per aiutarmi a chiarire le sommatorie e il fattoriale
sono una nuova iscritta e mi scuso in anticipo se ho fatto qualche errore nello scrivere questo nuovo argomento, ma sono tre pomeriggi che cerco di verificare questo:
$\sum_{k=m}^n(k!)/(m!*(k-m)!)$=$((n+1)!)/((m+1)!*(n-m)!)$ per ogni m,n $in$ $NN$, con $n>=m>=0$
ho provato varie scomposizioni, cambi di variabile e come ultimo tentativo sono arrivata a:
$\sum_{k=m}^n(k!)/(m!*(k-m)!)$=$\sum_{k=m+1}^(n+1)(k!)/(m!*(k-m)!)-\sum_{k=m}^n(k!)/((m-1)!*(k-m+1)!)$
ma non sono riuscita a raccogliere nulla o comunque ad arrivare alla soluzione.
Probabilmente una mia lacuna sta nel fatto di non aver capito questo passaggio in un esercizio svolto:
$\sum_{k=0}^n((n!)/((n-k)!*k!*n^k)$=$\sum_{k=0}^n((n*(n-1)*..*(n-k+1))/(k!*n^k))$
grazie per aiutarmi a chiarire le sommatorie e il fattoriale
Risposte
Intanto riscrivo in forma più compatta la formula che vuoi dimostrare: $\sum_{k=m}^n((k),(m))=((n+1),(m+1))$
Puoi cavartela semplicemente usando il principio di induzione sull'indice $n$ e l'identità, di facile dimostrazione, $((n),(m))+((n),(m+1))=((n+1),(m+1))$
Infatti per ogni fissato $m$ è chiaro che vale $\sum_{k=m}^{m}((k),(m))=((m+1),(m+1))$
Se poi l'identità vale per un certo valore di $n$ allora vale anche per $n+1$, infatti
$\sum_{k=m}^{n+1}((k),(m))=\sum_{k=m}^{n}((k),(m))+((n+1),(m))=\text{per l'ipotesi induttiva}=((n+1),(m+1))+((n+1),(m))=(((n+1)+1),(m+1))$
Puoi cavartela semplicemente usando il principio di induzione sull'indice $n$ e l'identità, di facile dimostrazione, $((n),(m))+((n),(m+1))=((n+1),(m+1))$
Infatti per ogni fissato $m$ è chiaro che vale $\sum_{k=m}^{m}((k),(m))=((m+1),(m+1))$
Se poi l'identità vale per un certo valore di $n$ allora vale anche per $n+1$, infatti
$\sum_{k=m}^{n+1}((k),(m))=\sum_{k=m}^{n}((k),(m))+((n+1),(m))=\text{per l'ipotesi induttiva}=((n+1),(m+1))+((n+1),(m))=(((n+1)+1),(m+1))$
Ciao,e ben arrivata su questo Forum:
hai provato per induzione su n(la base induttiva dovrà essere,fissato $m inNN$,$P(m)$ è vera..)?
Tutto sommato mi sembra sia il procedimento meno "contoso":
saluti dal web.
P.S.Per il codice và benissimo,come esordio:
il quantificatore esistenziale $AA$,in seguito,
potrai farlo visualizzare ponendo due A tra due simboli di dollaro statunitense..
Edit:
@Pzf
Maledetta sia la contemporaneità,nei secoli dei secoli
(sono alle crisi mstiche,ormai):
ho rinunciato a capire come poterla evitare!
hai provato per induzione su n(la base induttiva dovrà essere,fissato $m inNN$,$P(m)$ è vera..)?
Tutto sommato mi sembra sia il procedimento meno "contoso":
saluti dal web.
P.S.Per il codice và benissimo,come esordio:
il quantificatore esistenziale $AA$,in seguito,
potrai farlo visualizzare ponendo due A tra due simboli di dollaro statunitense..
Edit:
@Pzf
Maledetta sia la contemporaneità,nei secoli dei secoli
(sono alle crisi mstiche,ormai):
ho rinunciato a capire come poterla evitare!
grazie 
non avevo provato per induzione perchè il docente dando 4 esercizi ha specificato di dimostrarli per induzione tutti tranne l'identità da me proposta al forum, la quale doveva essere solo verificata. A questo punto credo di non aver capito cosa intendesse o comunque non essere riuscita a farlo. Per chiarire gli argomenti trattati, forse per ora basta una semplice induzione. Grazie 1000 ancora
non avevo provato per induzione perchè il docente dando 4 esercizi ha specificato di dimostrarli per induzione tutti tranne l'identità da me proposta al forum, la quale doveva essere solo verificata. A questo punto credo di non aver capito cosa intendesse o comunque non essere riuscita a farlo. Per chiarire gli argomenti trattati, forse per ora basta una semplice induzione. Grazie 1000 ancora
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