Sommatoria
ciao a tutti...stavo facendo un essercizio, e mi è arrivata questa sommatoria, non so perchè mi dia questo risultato
$\sum_{k=1}^(n+1) ((n+1),(k)) p^k p^(n+1-k)=1-(1-p)^(n+1)$
?
$\sum_{k=1}^(n+1) ((n+1),(k)) p^k p^(n+1-k)=1-(1-p)^(n+1)$
?
Risposte
Non è esatto, ti spiego perché, il termine $p^kp^{n+1-k}$ può per prima cosa essere semplificato come:
\(\displaystyle p^kp^{n+1}p^{-k}=p^kp^{n+1} \frac{1}{p^k}=p^{n+1}\)
La nostra sommatoria diventa:
\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n+1} \binom{n+1}{k} p^{n+1}\)
Proviamo a vedere se i risultati coincidono, prendiamo n e p casuali ad esempio 2 per n e 3 per p, abbiamo:
\(\displaystyle \sum_{k=1}^{2+1} \binom{2+1}{k} 3^{2+1}\)
\(\displaystyle \sum_{k=1}^3 \binom{3}{k} 3^3\)
\(\displaystyle 27 \cdot \sum_{k=1}^3 \binom{3}{k}\)
Sviluppiamo la sommatoria ed otteniamo:
\(\displaystyle 27 \cdot (\binom{3}{1}+\binom{3}{2}+\binom{3}{3})\)
\(\displaystyle 27 \cdot (3+3+1)=27 \cdot 7=189\)
Se l'uguaglianza è valida anche $1-(1-p)^{n+1}$ deve essere uguale a $189$, proviamo se è così:
\(\displaystyle 1-(1-3)^{2+1}=1-(-2)^3=1-(-8)=9\) come vedi due risultati diversi, quindi non so dove hai preso l'esercizio ma è sbagliato.
\(\displaystyle p^kp^{n+1}p^{-k}=p^kp^{n+1} \frac{1}{p^k}=p^{n+1}\)
La nostra sommatoria diventa:
\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n+1} \binom{n+1}{k} p^{n+1}\)
Proviamo a vedere se i risultati coincidono, prendiamo n e p casuali ad esempio 2 per n e 3 per p, abbiamo:
\(\displaystyle \sum_{k=1}^{2+1} \binom{2+1}{k} 3^{2+1}\)
\(\displaystyle \sum_{k=1}^3 \binom{3}{k} 3^3\)
\(\displaystyle 27 \cdot \sum_{k=1}^3 \binom{3}{k}\)
Sviluppiamo la sommatoria ed otteniamo:
\(\displaystyle 27 \cdot (\binom{3}{1}+\binom{3}{2}+\binom{3}{3})\)
\(\displaystyle 27 \cdot (3+3+1)=27 \cdot 7=189\)
Se l'uguaglianza è valida anche $1-(1-p)^{n+1}$ deve essere uguale a $189$, proviamo se è così:
\(\displaystyle 1-(1-3)^{2+1}=1-(-2)^3=1-(-8)=9\) come vedi due risultati diversi, quindi non so dove hai preso l'esercizio ma è sbagliato.
Vista la formula del binomio di Newton:
\[
(a+b)^N = \sum_{k=0}^N \binom{N}{k} a^k\ b^{N-k}
\]
ponendo \(a=p=b\) ed \(N=n+1\) ritrovi:
\[
(2p)^{n+1} = \sum_{k=0}^{n+1} \binom{n+1}{k} p^k\ p^{n+1-k} = p^{n+1} + \sum_{k=1}^{n+1} \binom{n+1}{k} p^k\ p^{n+1-k}
\]
da cui:
\[
\sum_{k=1}^{n+1} \binom{n+1}{k} p^k\ p^{n+1-k} = (2^{n+1}-1)\ p^{n+1}\; ,
\]
che è il risultato corretto di quella somma.
Tuttavia, dato il risultato che proponi ed il tipo di esercizio (si tratta quasi sicuramente di Calcolo delle Probabilità), direi che hai sbagliato a scrivere la sommatoria... Controlla un po'.
\[
(a+b)^N = \sum_{k=0}^N \binom{N}{k} a^k\ b^{N-k}
\]
ponendo \(a=p=b\) ed \(N=n+1\) ritrovi:
\[
(2p)^{n+1} = \sum_{k=0}^{n+1} \binom{n+1}{k} p^k\ p^{n+1-k} = p^{n+1} + \sum_{k=1}^{n+1} \binom{n+1}{k} p^k\ p^{n+1-k}
\]
da cui:
\[
\sum_{k=1}^{n+1} \binom{n+1}{k} p^k\ p^{n+1-k} = (2^{n+1}-1)\ p^{n+1}\; ,
\]
che è il risultato corretto di quella somma.
Tuttavia, dato il risultato che proponi ed il tipo di esercizio (si tratta quasi sicuramente di Calcolo delle Probabilità), direi che hai sbagliato a scrivere la sommatoria... Controlla un po'.
si l'esercizio è di c.d.p
presa una variabile casuale di distribuzione binomiale di parametri $n$ e $p$ devo calcolare $E(1/(1+X))$
arrivo a una certo punto dove trovo che
$E(1/(1+X))=1/(1+n)\sum_{k=0}^(n) ((n+1),(k+1)) p^k p^(n+1-k)=1/((n+1)p)\sum_{k=1}^(n+1) ((n+1),(k)) p^k p^(n+1-k)$
e qua mi dice che il risultato è $(1-(1-p)^(n+1))/((n+1)p)$
presa una variabile casuale di distribuzione binomiale di parametri $n$ e $p$ devo calcolare $E(1/(1+X))$
arrivo a una certo punto dove trovo che
$E(1/(1+X))=1/(1+n)\sum_{k=0}^(n) ((n+1),(k+1)) p^k p^(n+1-k)=1/((n+1)p)\sum_{k=1}^(n+1) ((n+1),(k)) p^k p^(n+1-k)$
e qua mi dice che il risultato è $(1-(1-p)^(n+1))/((n+1)p)$
"blabla":
si l'esercizio è di c.d.p
presa una variabile casuale di distribuzione binomiale di parametri $n$ e $p$ devo calcolare $E(1/(1+X))$
arrivo a una certo punto dove trovo che
$E(1/(1+X))=1/(1+n)\sum_{k=0}^(n) ((n+1),(k+1)) p^k p^(n+1-k)=1/((n+1)p)\sum_{k=1}^(n+1) ((n+1),(k)) p^k p^(n+1-k)$
e qua mi dice che il risultato è $(1-(1-p)^(n+1))/((n+1)p)$
non specificava null'altro? magari q e p no son equiprobabili..altrimenti il \(\displaystyle 2^{n+1} \) ci scappa per forza!
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