Sommatoria

[lordb]

Ciao a tutti,
mi tocca dimostrare o verificare che $sum_(k=0)^n(k*n! *p^(k-1) *(1-p)^(n-k))/(n *k! *(n-k)!)=1$

Qualche idea ? Ho provato a esplicitare i primi addendi della somma ma non ho trovato niente di interessante...

Grazie in anticipo

[gugo82]

Beh, binomio di Newton...

Hai:
\[
\begin{split}
\sum_{k=0}^n \frac{k}{n}\ \binom{n}{k}\ p^{k-1}\ (1-p)^{n-k} &= \sum_{k=1}^n \binom{n-1}{k-1}\ p^{k-1}\ (1-p)^{n-k} \\
&\stackrel{h=k-1}{=} \sum_{h=0}^{n-1} \binom{n-1}{h}\ p^h\ (1-p)^{n-1-h}
\end{split}
\]
quindi...

[lordb]

$n-1=m$ $->$ $sum_(h=0)^m*((m),(h))p^h(1-p)^(m-h)=[p+1-p]^m=1$

Grazie mille gugo!

Non riesco a capire però la prima uguaglianza, so che:

$sum_(k=0)^n k/n*((n),(k))p^(k-1)(1-p)^(n-k)=sum_(k=1)^n k/n*((n),(k))p^(k-1)(1-p)^(n-k)$

Inoltre:

$k/n*((n),(k))=k/n*((n-1),(k))+k/n*((n-1),(k-1))$

E otterrei:

$sum_(k=1)^n k/n*((n),(k))p^(k-1)(1-p)^(n-k)=sum_(k=1)^n k/n*[((n-1),(k))+((n-1),(k-1))]*p^(k-1)(1-p)^(n-k)$

Ma non riesco a raggiungere la tua semplificazione...

Edit: Scusa ero ubriaco, credevo avessi usato Stifel invece $k/n*((n),(k))=((n-1),(k-1))$