Sommabilità integrale doppio
Salve ragazzi,
Ho un problema con il seguente esercizio e avrei alcune domande da porvi. L'esercizio é il seguente:
Sia
$ f(x,y)=sin(x) root(2)(sin(|1/x|))/(1+|x|^\alpha y^2$
$\alpha in RR$. Si provi che f in L^1([-1 , 1 ] xx [-1 , 1 ]) $AA \alpha$ e che $f in L^1 ( RR^2) $ se $\alpha >1$ .
Premetto che posseggo la soluzione non molto chiara che vorrei comprendere meglio. In primo luogo il professore risolve la prima richiesta cioè f in L^1([-1 , 1 ] xx [-1 , 1 ]) $AA \alpha$ facendo queste considerazioni:
$ |f(x,y)|<= 1 $ dato che $ | sin(x)|<=1 $ e in $(x,y)=(0,0) f(x,y) $ é prolungabile per continuità e quindi sommabile in un intorno di $(0,0)$.
Io ho interpretato quest'ultima in questo modo: che il seno di x sia maggiorabile con 1 non ci sono dubbi e moltiplicato per qualcosa che al tendere di x a zero è indeterminata ma comunque finita e in modulo minore di 1, quindi il numeratore è maggiorabile con 1. Il denominatore in $(0,0)$ è 1 ( anche se qualche dubbio c'e l'ho visto che c'è $ |x|^\alpha y^2 = 0*0 $ che dovrebbe essere una forma indeterminata se nn mi sbaglio).Cosa secondo voi non mi è ancora chiaro in questa prima parte?
Poi continua dicendo: applichiamo il teorema di Tonelli ad $|f|$ per stabilire la sommabilità lontano dall'origine.Integrando prima nella variabile y. Osservando che f è pari:
$ int_(1)^(oo) |f(x,y)| dy = $ (ponendo $|x|^(\alpha /2) y=t $) .$ = sin(x) root()(|sin(1/x)|)/(|x|^(\alpha /2)) int_(|x|^(\alpha /2))^(oo) dt/(1+t^2) <= (\pi /2)|sinx(x)|/|x|^(\alpha /2) root()(|sin(1/x)|) =: \psi(x) $
cioè $|f(x, .)|$ per ogni $ x!=0$, è sommabile per ogni $\alpha.
domande: Perchè per ogni $\alpha$ ? non dovrebbe essere per $\alpha>1$ ? tonelli lo si puo' applicare visto che al primo passaggio abbiamo dimostrato la sommabilità di $|f(x,y)|$ studiando l'unico caso dove dava problemi cioè in $(x,y)=(0,0)$ ? la scelta della variabile in cui integrale è indefferente, o è una questione di comodità visto che poi si puo' facilmente trovare l'arcotg, e quindi la sua successiva maggiorazione con $\pi /2$ ?
Il passaggio veramente ostile è il seguente :
Per $|x|>1$ si ha :
$\psi(x)<= \pi (1/|x|^((\alpha +1)/2))$
che è somabile in $[ 1, +oo) $ per $\alpha>1$.
Ora vi chiedo ma perche' $\psi(x)$ è minore di tale quantità ? non dovrebbe essere maggiore visto che si aumenta mezzo grado a $|x|$ ?
Vi prego di darmi qualche dritta visto che martedi ho l'esame.
Grazie mille in anticipo.
Ho un problema con il seguente esercizio e avrei alcune domande da porvi. L'esercizio é il seguente:
Sia
$ f(x,y)=sin(x) root(2)(sin(|1/x|))/(1+|x|^\alpha y^2$
$\alpha in RR$. Si provi che f in L^1([-1 , 1 ] xx [-1 , 1 ]) $AA \alpha$ e che $f in L^1 ( RR^2) $ se $\alpha >1$ .
Premetto che posseggo la soluzione non molto chiara che vorrei comprendere meglio. In primo luogo il professore risolve la prima richiesta cioè f in L^1([-1 , 1 ] xx [-1 , 1 ]) $AA \alpha$ facendo queste considerazioni:
$ |f(x,y)|<= 1 $ dato che $ | sin(x)|<=1 $ e in $(x,y)=(0,0) f(x,y) $ é prolungabile per continuità e quindi sommabile in un intorno di $(0,0)$.
Io ho interpretato quest'ultima in questo modo: che il seno di x sia maggiorabile con 1 non ci sono dubbi e moltiplicato per qualcosa che al tendere di x a zero è indeterminata ma comunque finita e in modulo minore di 1, quindi il numeratore è maggiorabile con 1. Il denominatore in $(0,0)$ è 1 ( anche se qualche dubbio c'e l'ho visto che c'è $ |x|^\alpha y^2 = 0*0 $ che dovrebbe essere una forma indeterminata se nn mi sbaglio).Cosa secondo voi non mi è ancora chiaro in questa prima parte?
Poi continua dicendo: applichiamo il teorema di Tonelli ad $|f|$ per stabilire la sommabilità lontano dall'origine.Integrando prima nella variabile y. Osservando che f è pari:
$ int_(1)^(oo) |f(x,y)| dy = $ (ponendo $|x|^(\alpha /2) y=t $) .$ = sin(x) root()(|sin(1/x)|)/(|x|^(\alpha /2)) int_(|x|^(\alpha /2))^(oo) dt/(1+t^2) <= (\pi /2)|sinx(x)|/|x|^(\alpha /2) root()(|sin(1/x)|) =: \psi(x) $
cioè $|f(x, .)|$ per ogni $ x!=0$, è sommabile per ogni $\alpha.
domande: Perchè per ogni $\alpha$ ? non dovrebbe essere per $\alpha>1$ ? tonelli lo si puo' applicare visto che al primo passaggio abbiamo dimostrato la sommabilità di $|f(x,y)|$ studiando l'unico caso dove dava problemi cioè in $(x,y)=(0,0)$ ? la scelta della variabile in cui integrale è indefferente, o è una questione di comodità visto che poi si puo' facilmente trovare l'arcotg, e quindi la sua successiva maggiorazione con $\pi /2$ ?
Il passaggio veramente ostile è il seguente :
Per $|x|>1$ si ha :
$\psi(x)<= \pi (1/|x|^((\alpha +1)/2))$
che è somabile in $[ 1, +oo) $ per $\alpha>1$.
Ora vi chiedo ma perche' $\psi(x)$ è minore di tale quantità ? non dovrebbe essere maggiore visto che si aumenta mezzo grado a $|x|$ ?
Vi prego di darmi qualche dritta visto che martedi ho l'esame.
Grazie mille in anticipo.
Risposte
Vi prego aiutatemi sono disperato!
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