Sommabilità funzione sinc
Ciao a tutti,
sto preparando l'esame di teoria dei segnali e studiando la trasformata di fourier esce spesso il concetto di sommabilità di una funzione.
Adesso ho rivisto un po' di appunti di analisi (criteri di sommabilità) però non riesco a dimostrare che la funzione
$"sinc"(x)=sin(pi*x)/(pi*x)$ non è sommabile.
Ora vi mostro i passaggi che ho svolto fino ad ora:
1) dobbiamo analizzare l'integrale $\int_{-infty}^{+infty} |sin(pi*x)/(pi*x)| dx$
2) visto che la funzione integranda è pari basta analizzare l'integrale $\int_{0}^{+infty} |sin(pi*x)/(pi*x)| dx$
3) visto che consideriamo solo le x positive possiamo riscrivere l'integrale precedente nel seguente modo: $\int_{0}^{+infty} |sin(pi*x)|/(pi*x) dx$
Lintegrale è improprio, la funzione integranda è positiva e continua nell'intervallo di integrazione. Quindi, confronto la funzione integranda con la funzione campione $1/(x^a)$ che è convergente per $a>1$ e divergente per $a<=1$
Per i criteri di sommabilità se $lim_{n \to +infty)(|sin(pi*x)|/(pi*x))*x^a=l$ con $l in (0,+infty)$ ed $a<1$ allora l'integrale diverge.
Oppure se $lim_{n \to +infty)(|sin(pi*x)|/(pi*x))*x=+infty$ allora l''integrale diverge.
Ora il problema è che applicando questi criteri non riesco comunque a dimostrare la non convergenza dell'integrale.
Il ragionamento seguito è sbagliato? E' un problema relativo alla risoluzione dei limti?
Grazie
sto preparando l'esame di teoria dei segnali e studiando la trasformata di fourier esce spesso il concetto di sommabilità di una funzione.
Adesso ho rivisto un po' di appunti di analisi (criteri di sommabilità) però non riesco a dimostrare che la funzione
$"sinc"(x)=sin(pi*x)/(pi*x)$ non è sommabile.
Ora vi mostro i passaggi che ho svolto fino ad ora:
1) dobbiamo analizzare l'integrale $\int_{-infty}^{+infty} |sin(pi*x)/(pi*x)| dx$
2) visto che la funzione integranda è pari basta analizzare l'integrale $\int_{0}^{+infty} |sin(pi*x)/(pi*x)| dx$
3) visto che consideriamo solo le x positive possiamo riscrivere l'integrale precedente nel seguente modo: $\int_{0}^{+infty} |sin(pi*x)|/(pi*x) dx$
Lintegrale è improprio, la funzione integranda è positiva e continua nell'intervallo di integrazione. Quindi, confronto la funzione integranda con la funzione campione $1/(x^a)$ che è convergente per $a>1$ e divergente per $a<=1$
Per i criteri di sommabilità se $lim_{n \to +infty)(|sin(pi*x)|/(pi*x))*x^a=l$ con $l in (0,+infty)$ ed $a<1$ allora l'integrale diverge.
Oppure se $lim_{n \to +infty)(|sin(pi*x)|/(pi*x))*x=+infty$ allora l''integrale diverge.
Ora il problema è che applicando questi criteri non riesco comunque a dimostrare la non convergenza dell'integrale.
Il ragionamento seguito è sbagliato? E' un problema relativo alla risoluzione dei limti?
Grazie
Risposte
Grazie compaesano 
,
ho capito la dimostrazione.
,ho capito la dimostrazione.
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