Sommabilità funzione
Buongiorno,
Il testo dell'esercizio mi chiede di studiare la sommabilità in senso generalizzato di:
$f(x)=1/(sqrt x |log x|) $ in $[0,1]$
Vorrei solo sapere se è giusto il procedimento che faccio
La studio in 0
$ lim_(x->0) |x|^alpha/(sqrt x |log x|) $
1° sottocaso: $1/2
Il limite mi fa 0, quindi la funzione risulta sommabile
2° sottocaso $alpha=1/2$
Il limite mi fa 0 quindi risulta sommabile
3° sottocaso $0
Il limite risulta $+oo$ quindi nulla può dirsi sulla sommabilità
Per lo studio in 1 ci sto lavorando, sinceramente non so come trattare il limite
$lim_(x->1) |x-1|^alpha/(sqrt x |log x|) $
mi potete dare un piccolo aiutino?
Il testo dell'esercizio mi chiede di studiare la sommabilità in senso generalizzato di:
$f(x)=1/(sqrt x |log x|) $ in $[0,1]$
Vorrei solo sapere se è giusto il procedimento che faccio
La studio in 0
$ lim_(x->0) |x|^alpha/(sqrt x |log x|) $
1° sottocaso: $1/2
Il limite mi fa 0, quindi la funzione risulta sommabile
2° sottocaso $alpha=1/2$
Il limite mi fa 0 quindi risulta sommabile
3° sottocaso $0
Il limite risulta $+oo$ quindi nulla può dirsi sulla sommabilità
Per lo studio in 1 ci sto lavorando, sinceramente non so come trattare il limite
$lim_(x->1) |x-1|^alpha/(sqrt x |log x|) $
mi potete dare un piccolo aiutino?
Risposte
La prima parte mi sembra corretta, tuttavia a questo punto cosa concludi? La funzione è o non è integrabile in $x=0$?
Per la seconda, poni $t=x-1$, così riconduci il limite a
$$\lim_{t\to 0}\frac{t^\alpha}{\sqrt{t+1}|\log(t+1)|}$$
Per la seconda, poni $t=x-1$, così riconduci il limite a
$$\lim_{t\to 0}\frac{t^\alpha}{\sqrt{t+1}|\log(t+1)|}$$
"Sylent":
Per lo studio in 1 ci sto lavorando
calcola
$ lim_(x -> 1^-)(1/lnx )/(1/(x-1) $
e traine le dovute conseguenze
Ti ringrazio ciampax, praticamente quel limite (a meno di quell'$alpha$) è uguale a 1 giusto?
Quindi se pongo $alpha=1$ posso dire che la funzione risulta non sommabile, ma visto che ho $alpha$ come devo comportarmi per gli altri casi?
Stormy ho valutato anche la tua risposta, ma non riesco a capire dov'è scomparsa la $sqrtx$
Quindi se pongo $alpha=1$ posso dire che la funzione risulta non sommabile, ma visto che ho $alpha$ come devo comportarmi per gli altri casi?
Stormy ho valutato anche la tua risposta, ma non riesco a capire dov'è scomparsa la $sqrtx$
No, aspetta. Tu un valore preciso di $\alpha<1$ lo devi trovare, altrimenti non puoi concludere niente. E questo valore preciso qual è? Perché se fosse $1/4$ allora la funzione non sarebbe integrabile. Quindi il metodo che stai utilizzando non ti permette di dire niente e hai bisogno di fare altro: idee?
Per quanto riguarda la cosa che dice stormy: se $x\to 1$, allora $\sqrt{x}\to 1$, quindi la possiamo anche eliminare dall'equazione.
Per quanto riguarda la cosa che dice stormy: se $x\to 1$, allora $\sqrt{x}\to 1$, quindi la possiamo anche eliminare dall'equazione.
Sinceramente no 
potresti darmi un ulteriore aiuto per studiarla in 1?
Grazie
potresti darmi un ulteriore aiuto per studiarla in 1? Grazie
Veramente la devi ancora studiare anche in zero.
"Sylent":
Stormy ho valutato anche la tua risposta, ma non riesco a capire dov'è scomparsa la $sqrtx$
vabbè,allora le traggo io le conseguenze
il limite che ho scritto vale $1$
quindi $1/(lnx)$ è un infinito di ordine 1 per $x rarr 1$
ma allora,anche $1/(sqrtx|lnx|)$ è un infinito di ordine 1
l'integrale per $x rarr 1$ diverge
Perchè ancora devo concluderla in 0? Devo dire se è integrabile? Il mio professore sinceramente la conclude in questo modo
A me, sinceramente, non sembra concluso assolutamente niente: non è stato detto cosa accade in definitiva, viene solo detto quali sono le possibilità. Come diceva stormy, l'analisi in $x\to 1$ porta a concludere che la funzione non è sommabile, e quindi tutto l'integrale non converge, tuttavia chiarire anche il comportamento in $x=0$ potrebbe essere utile.
@sylent
giusto per completezza
$ lim_(x -> 0^+)(1/(sqrtx|lnx|))/(1/x^(2/3))=0 $
l'integrando è un infinito di ordine minore di $2/3$ per $x rarr 0^+$
in generale,se non li mette l'esercizio gli $alpha$,perchè ce li metti tu ? per masochismo?
giusto per completezza
$ lim_(x -> 0^+)(1/(sqrtx|lnx|))/(1/x^(2/3))=0 $
l'integrando è un infinito di ordine minore di $2/3$ per $x rarr 0^+$
in generale,se non li mette l'esercizio gli $alpha$,perchè ce li metti tu ? per masochismo?
Perché per studiare la sommabilità in senso generalizzato di una funzione noi usiamo questo "schema":
Ponendo sempre $alpha>0$
$lim_(x->c) |f(x)|*|x-c|^alpha={ ( l ),( 0 ),(+oo ):}$
Se il limite ci da l e $alpha<1$ la funzione è sommabile
Se il limite ci da l e $alpha>=1$ la funzione non è sommabile
Se il limite ci da 0 e $alpha<1$ la funzione è sommabile
Se il limite ci da 0 e $alpha>=1$ nulla si può dire
Se il limite ci da $+oo$e $alpha<1$ nulla si può dire
Se il limite ci da $+oo$ e $alpha>=1$ la funzione non è sommabile
Voi come fate invece?
P.s.: dove $c$ è l'estremo...
Ad esempio il testo dell'esercizio mi dice "Studiare la sommabilità in senso generalizzato in [0,1] della seguente funzione" quindi la mia $c$ una volta sarà 0 e una volta sarà 1
Ponendo sempre $alpha>0$
$lim_(x->c) |f(x)|*|x-c|^alpha={ ( l ),( 0 ),(+oo ):}$
Se il limite ci da l e $alpha<1$ la funzione è sommabile
Se il limite ci da l e $alpha>=1$ la funzione non è sommabile
Se il limite ci da 0 e $alpha<1$ la funzione è sommabile
Se il limite ci da 0 e $alpha>=1$ nulla si può dire
Se il limite ci da $+oo$e $alpha<1$ nulla si può dire
Se il limite ci da $+oo$ e $alpha>=1$ la funzione non è sommabile
Voi come fate invece?
P.s.: dove $c$ è l'estremo...
Ad esempio il testo dell'esercizio mi dice "Studiare la sommabilità in senso generalizzato in [0,1] della seguente funzione" quindi la mia $c$ una volta sarà 0 e una volta sarà 1
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