Sommabilità di una funzione "test"
Salve a tutti,
avrei bisogno di una mano con un integrale.
Vorrei sapere se si può dire che l'integrale
$ int_(0)^(oo ) dx/(1-f(x)) $
esiste ed è finito pur non conoscendo la f(x) nel dettaglio.
f(x) soddisfa queste tre ipotesi:
f(0)=0;
f continua;
f crescente;
ho provato a cercare su internet ma non ho molta confidenza con la sommabilità e i criteri per stabilirla.
grazie mille, sono disponibile per chiarimenti,
ursus
avrei bisogno di una mano con un integrale.
Vorrei sapere se si può dire che l'integrale
$ int_(0)^(oo ) dx/(1-f(x)) $
esiste ed è finito pur non conoscendo la f(x) nel dettaglio.
f(x) soddisfa queste tre ipotesi:
f(0)=0;
f continua;
f crescente;
ho provato a cercare su internet ma non ho molta confidenza con la sommabilità e i criteri per stabilirla.
grazie mille, sono disponibile per chiarimenti,
ursus
Risposte
In generale con quelle ipotesi non puoi concludere nulla.
Ad esempio, prendi [tex]$f(x):=\frac{x}{x+1}$[/tex]: tale [tex]$f$[/tex] verifica tutte e tre le tue ipotesi, ma la funzione [tex]$\frac{1}{1-f(x)} =x+1$[/tex] non è integrabile in [tex]$[0,+\infty[$[/tex].
Ad esempio, prendi [tex]$f(x):=\frac{x}{x+1}$[/tex]: tale [tex]$f$[/tex] verifica tutte e tre le tue ipotesi, ma la funzione [tex]$\frac{1}{1-f(x)} =x+1$[/tex] non è integrabile in [tex]$[0,+\infty[$[/tex].
si potrebbe concludere qualcosa invece sulla funzione integrale F(x)?
convergenze, valori limite, in base a come è fatta la f(x) ecc ecc...
convergenze, valori limite, in base a come è fatta la f(x) ecc ecc...
Intendi sulla funzione [tex]$F(x):=\int_0^x \frac{1}{1-f(t)}\ \text{d} t$[/tex]?
"gugo82":
Intendi sulla funzione [tex]$F(x):=\int_0^x \frac{1}{1-f(t)}\ \text{d} t$[/tex]?
si esatto...
scusa se non ho usato il generatore di formule, non ci ho ancora troppa confidenza
"ursus":
[quote="gugo82"]Intendi sulla funzione [tex]$F(x):=\int_0^x \frac{1}{1-f(t)}\ \text{d} t$[/tex]?
si esatto...[/quote]
Beh, in generale non puoi dir nulla di preciso sull'insieme di definizione di [tex]$F$[/tex].
Ad esempio, prendi [tex]$f(x)=x$[/tex]: in tal caso [tex]$F(x)=\int_0^x \frac{1}{1-t}\ \text{d} t =-\ln (1-x)$[/tex] sicché [tex]$F$[/tex] esplode per [tex]$x\to 1^-$[/tex] ed essa è perciò definita solo in [tex]$]-\infty ,1[$[/tex].
Un altro esempio: prendi [tex]$f(x)=\ln (1+\frac{1}{3}x)$[/tex]; anche in tal caso [tex]$F(x):=\int_0^x \frac{1}{1-\ln (1+\tfrac{1}{3}t)}\ \text{d} t$[/tex] esplode per [tex]$x\to (3(e-1))^-$[/tex] ed essa è definita solo in [tex]$]-3,3(e-1)[$[/tex].
Ancora: se [tex]$f(x)=\frac{x}{x+1}$[/tex], la [tex]$F(x)=\int_0^x t\ \text{d} t =\frac{1}{2}\ x^2$[/tex] ed è definita in tutto [tex]$]-1,+\infty[$[/tex].
Tuttavia, nelle ipotesi in cui sei, puoi certamente affermare che la tua [tex]$F$[/tex], nell'insieme dov'è definita (che in generale dipende da [tex]$f$[/tex] e dal fatto che essa assuma o meno il valore [tex]$1$[/tex]), è derivabile con derivata continua, che è crescente e convessa.
"ursus":
scusa se non ho usato il generatore di formule, non ci ho ancora troppa confidenza
No, figurati, sei all'inizio devi ancora farci la mano.
Però ricorda che, da regolamento (cfr. 3.6b), l'inserimento corretto delle formule è obbligatorio dal 30esimo post in poi.
mmh...
vediamola invece così:
esiste una f(x) tale che $int_(0)^(oo ) dx/(1-f(x))$ sia sommabile?
magari può essere uno spunto...
vediamola invece così:
esiste una f(x) tale che $int_(0)^(oo ) dx/(1-f(x))$ sia sommabile?
magari può essere uno spunto...
Ursus, ma a che ti serve tutto ciò?
Posta il testo originario del problema, così magari ci ragioniamo insieme; procedere così alla cieca è inutile (e faticoso per chi deve inventarsi esempi).
Posta il testo originario del problema, così magari ci ragioniamo insieme; procedere così alla cieca è inutile (e faticoso per chi deve inventarsi esempi).
ok va bene...
un mio ex prof di analisi ci assegnò questo problema tempo fa:
Per i fenomeni di viscosità in generale si ha che:
$ m(dv/dt) = F - R(v)$
con $R(v)$ che indica una generica resistenza viscosa (funzione della velocità)
ciò si può semplificare opportunamente, diventando così:
$dv/dt = 1 - R(v) $
ecco, il problema è, esiste sempre una velocità limite con una R(v) generica??
R(v) soddisfa le tre ipotesi che dicevo: continua, crescente e vale 0 se la velocità è 0. (ovviamente se il corpo è fermo non c'è nessuna resistenza del mezzo)
il passaggio critico è dimostrare che $ int_(0)^(oo ) dv/(1-R(v)) $ è sommabile... fidati
un mio ex prof di analisi ci assegnò questo problema tempo fa:
Per i fenomeni di viscosità in generale si ha che:
$ m(dv/dt) = F - R(v)$
con $R(v)$ che indica una generica resistenza viscosa (funzione della velocità)
ciò si può semplificare opportunamente, diventando così:
$dv/dt = 1 - R(v) $
ecco, il problema è, esiste sempre una velocità limite con una R(v) generica??
R(v) soddisfa le tre ipotesi che dicevo: continua, crescente e vale 0 se la velocità è 0. (ovviamente se il corpo è fermo non c'è nessuna resistenza del mezzo)
il passaggio critico è dimostrare che $ int_(0)^(oo ) dv/(1-R(v)) $ è sommabile... fidati
Mi fido!
Una costruzione si può pure fare, ma credo sia una di quelle cose con pochissimo significato fisico.
Prendiamo:
\[f(x):=\begin{cases} 1-\sqrt{1-x} &\text{, se } 0\leq x\leq 1 \\ 1+\sqrt{x-1} &\text{, se } 1\leq x\leq 2 \\ \frac{1}{4}\ x^2-\frac{1}{2}\ x+2 &\text{, se } x\geq 2\end{cases}\quad :\]
in tal modo [tex]$f$[/tex] soddisfa tutte le ipotesi poste (continuità, crescenza e nullità in [tex]$0$[/tex]) ed in più [tex]$\frac{1}{|1-f(x)|}$[/tex] è un infinito d'ordine [tex]$\tfrac{1}{2} <1$[/tex] in [tex]$x=1$[/tex] ed un infinitesimo d'ordine [tex]$2>1$[/tex] per [tex]$x\to +\infty$[/tex] cosicché, dai criteri di sommabilità, segue che esiste finito l'integrale improprio di [tex]$\frac{1}{1-f(x)}$[/tex] esteso a [tex]$[0,+\infty[$[/tex].
Il grafico della [tex]$f$[/tex] è il seguente:
[asvg]xmin=0;xmax=5;ymin=0;ymax=5;
axes("","");
plot("1-sqrt(1-x)",0,1); plot("1+sqrt(x-1)",1,2);plot("(x/2)^2-(x/2)+2",2,5);[/asvg]
Una costruzione si può pure fare, ma credo sia una di quelle cose con pochissimo significato fisico.
Prendiamo:
\[f(x):=\begin{cases} 1-\sqrt{1-x} &\text{, se } 0\leq x\leq 1 \\ 1+\sqrt{x-1} &\text{, se } 1\leq x\leq 2 \\ \frac{1}{4}\ x^2-\frac{1}{2}\ x+2 &\text{, se } x\geq 2\end{cases}\quad :\]
in tal modo [tex]$f$[/tex] soddisfa tutte le ipotesi poste (continuità, crescenza e nullità in [tex]$0$[/tex]) ed in più [tex]$\frac{1}{|1-f(x)|}$[/tex] è un infinito d'ordine [tex]$\tfrac{1}{2} <1$[/tex] in [tex]$x=1$[/tex] ed un infinitesimo d'ordine [tex]$2>1$[/tex] per [tex]$x\to +\infty$[/tex] cosicché, dai criteri di sommabilità, segue che esiste finito l'integrale improprio di [tex]$\frac{1}{1-f(x)}$[/tex] esteso a [tex]$[0,+\infty[$[/tex].
Il grafico della [tex]$f$[/tex] è il seguente:
[asvg]xmin=0;xmax=5;ymin=0;ymax=5;
axes("","");
plot("1-sqrt(1-x)",0,1); plot("1+sqrt(x-1)",1,2);plot("(x/2)^2-(x/2)+2",2,5);[/asvg]
alla fine però, pensi si possa concludere che se la funzione integranda è sommabile c'è una velocità limite e in caso contrario no?
Il punto è che secondo me R(v) non dovrebbe mai passare 1 ma tendervi al limite...
Il punto è che secondo me R(v) non dovrebbe mai passare 1 ma tendervi al limite...
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