Sommabilità di una funzione complessa
Buonasera, sto affrontando i primi esercizi di Analisi III ed ho grossi problemi a capire il metodo che vuole sia applicato il mio prof (pena la bocciatura..). In particolare riguarda la verifica della sommabilità.
Prendiamo come esempio il seguente integrale da calcolare :
Inizio l'analisi dei punti singolari e vedo che sono tutti immaginari, ovvero \(\displaystyle \pm i; \) \(\displaystyle \pm i^{\frac{1}{3}}; \) \(\displaystyle \pm i^{\frac{5}{3}} \), che nello specifico sono poli a molteplicità semplice.
Dopodichè si passa all'analisi della sommabilità. Dato che la funzione è continua e limitata dovrebbe essere sommabile, però al prof non basta una spiegazione teorica, vuole anche i calcoli. In particolare utilizza sempre questo metodo (che credo di aver visto in analisi I ma che non abbiamo mai applicato esplicitamente e quindi adesso mi trovo in difficoltà):
e da qui ricava che per determinati \(\displaystyle \alpha \) le relazioni sono soddisfatte e quindi la funzione è sommabile. Qualcuno potrebbe passarmi un link (o anche soltanto il nome) di questo teorema? Per analisi I non è stato presentato come una cosa fondamentale, anzi è stato fatto di sfuggita, quindi (erroneamente) gli ho dato poca importanza..
Ps: applicando questo metodo alla funzione mi trovo due intervalli di \(\displaystyle \alpha \) che non hanno punti in comune quindi in teoria \(\displaystyle f(x) \) non dovrebbe essere sommabile...boh
Prendiamo come esempio il seguente integrale da calcolare :
\(\displaystyle \int_{0}^{\infty} \frac{1}{x^6+1} dx \)
Inizio l'analisi dei punti singolari e vedo che sono tutti immaginari, ovvero \(\displaystyle \pm i; \) \(\displaystyle \pm i^{\frac{1}{3}}; \) \(\displaystyle \pm i^{\frac{5}{3}} \), che nello specifico sono poli a molteplicità semplice.
Dopodichè si passa all'analisi della sommabilità. Dato che la funzione è continua e limitata dovrebbe essere sommabile, però al prof non basta una spiegazione teorica, vuole anche i calcoli. In particolare utilizza sempre questo metodo (che credo di aver visto in analisi I ma che non abbiamo mai applicato esplicitamente e quindi adesso mi trovo in difficoltà):
\(\displaystyle \lim_{x\to0} |f(x)| \cdot |x|^{\alpha} \to 0 \)
\(\displaystyle \lim_{x\to\infty} |f(x)| \cdot |x|^{\alpha} \to 0 \)
e da qui ricava che per determinati \(\displaystyle \alpha \) le relazioni sono soddisfatte e quindi la funzione è sommabile. Qualcuno potrebbe passarmi un link (o anche soltanto il nome) di questo teorema? Per analisi I non è stato presentato come una cosa fondamentale, anzi è stato fatto di sfuggita, quindi (erroneamente) gli ho dato poca importanza..
Ps: applicando questo metodo alla funzione mi trovo due intervalli di \(\displaystyle \alpha \) che non hanno punti in comune quindi in teoria \(\displaystyle f(x) \) non dovrebbe essere sommabile...boh
Risposte
Se può servire a qualcuno, la risposta ai miei dubbi si trova nei teoremi 4.37 e 4.38 (a pagina 150-151) di questo pdf
"Oiram92":
Buonasera, sto affrontando i primi esercizi di Analisi III ed ho grossi problemi a capire il metodo che vuole sia applicato il mio prof (pena la bocciatura..). In particolare riguarda la verifica della sommabilità.
Prendiamo come esempio il seguente integrale da calcolare :
\(\displaystyle \int_{0}^{\infty} \frac{1}{x^6+1} dx \)
Inizio l'analisi dei punti singolari e vedo che sono tutti immaginari, ovvero \(\displaystyle \pm i; \) \(\displaystyle \pm i^{\frac{1}{3}}; \) \(\displaystyle \pm i^{\frac{5}{3}} \), che nello specifico sono poli a molteplicità semplice.
Innanzitutto, non è la funzione integranda che ha poli (perché essa è una funzione reale, il cui denominatore non si annulla mai), ma è la funzione complessa che si ottiene come prolungamento analitico di quella reale, i.e. $f(z) = 1/(1+z^6)$, che ha poli del primo ordine nei punti segnalati.
Tra l'altro, la scrittura usata per i poli non ha nemmeno tanto significato, perché la potenza ad esponente razionale ha più determinazioni in $CC$, quindi scrivere $\mathbf{i}^{1/3}$ non ha senso (a meno di non mettersi d'accordo prima).
I poli della $f(z)$ si trovano, come si suol dire più correttamente, nelle $6$ radici seste di $-1$, le quali non sono tutte immaginarie (pure), ma complesse.
"Oiram92":
Dopodichè si passa all'analisi della sommabilità. Dato che la funzione è continua e limitata dovrebbe essere sommabile[...]
Questo è falso, in generale.
Ad esempio, una funzione costante e non nulla, e.g. $f(x)=1$, è continua e limitata in $[0,+\infty[$ ma non è sommabile in $[0,+\infty[$.
"Oiram92":
[...] però al prof non basta una spiegazione teorica [...]
Soprattutto quando la spiegazione è sbagliata, suppongo...
"Oiram92":
[...] vuole anche i calcoli. In particolare utilizza sempre questo metodo (che credo di aver visto in analisi I ma che non abbiamo mai applicato esplicitamente e quindi adesso mi trovo in difficoltà):
\(\displaystyle \lim_{x\to0} |f(x)| \cdot |x|^{\alpha} \to 0 \)
\(\displaystyle \lim_{x\to\infty} |f(x)| \cdot |x|^{\alpha} \to 0 \)
e da qui ricava che per determinati \(\displaystyle \alpha \) le relazioni sono soddisfatte e quindi la funzione è sommabile. Qualcuno potrebbe passarmi un link (o anche soltanto il nome) di questo teorema? Per analisi I non è stato presentato come una cosa fondamentale, anzi è stato fatto di sfuggita, quindi (erroneamente) gli ho dato poca importanza.
Conscio dei tuoi errori, cerca di porvi rimedio.
La cosa migliore è prendere in mano un libro di Analisi I e leggersi quelle tre nozioni che servono per gestire gli integrali impropri (i.e., la definizione di integrale improprio, la definizione di funzione sommabile ed i criteri di convergenza per confronto).
P.S.: La funzione integranda è sommabile in $[0,+\infty[$ perché è continua, positiva ed infinitesima in $+\infty$ d'ordine $6$.
Grazie mille @gugo82 per le tue precisazioni, ho ripassato la teoria e penso di aver risolto i dubbi sulla sommabilità con il metodo del confronto. Adesso però ne è uscito fuori un altro relativo agli integrali con il logaritmo..
L'integrale in questione è il seguente :
ho anche lo svolgimento (che ho allegato) che ho capito tranne in due parti che mi restano oscure..
1) Per il prolungamento nel campo complesso invece di considerare \(\displaystyle ln(z) \) prende \(\displaystyle ln^2(z) \) e sinceramente non ne comprendo il motivo (è una sostituzione "canonica" per questo tipo di esercizi oppure questo è un caso particolare?)
2) Dopo aver effettuato l'analisi nel semicerchio superiore ed in quello inferiore mette tutto assieme ma "saltano fuori" nuovi termini..Il passaggio finale in questione è il seguente (ho dovuto spezzare sennò non lo stampava):
Il termine \(\displaystyle 2 \pi^3 i \) deriva dal lemma del piccolo cerchio applicato al punto di discontinuità \(\displaystyle -1 \) ma gli altri due integrali?
[EDIT]
per il 2) mi sono risposto da solo prestando un pò di attenzione in più..è semplicemente una somma tra gli integrali (che poi vengono spezzettati)..rimane tuttavia il dubbio relativo alla domanda 1)
[/EDIT]
L'integrale in questione è il seguente :
\(\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{ln(x)}{x^3+2x^2+2x+1} dx \)
ho anche lo svolgimento (che ho allegato) che ho capito tranne in due parti che mi restano oscure..
1) Per il prolungamento nel campo complesso invece di considerare \(\displaystyle ln(z) \) prende \(\displaystyle ln^2(z) \) e sinceramente non ne comprendo il motivo (è una sostituzione "canonica" per questo tipo di esercizi oppure questo è un caso particolare?)
2) Dopo aver effettuato l'analisi nel semicerchio superiore ed in quello inferiore mette tutto assieme ma "saltano fuori" nuovi termini..Il passaggio finale in questione è il seguente (ho dovuto spezzare sennò non lo stampava):
\(\displaystyle \int_{+\partial T} f(z)dz + \int_{+\partial T^*} f(z)dz = (4 \pi^2) v.p. \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{x^3+2x^2+2x+1}dx + \)
\(\displaystyle - (4 \pi i) v.p \int_{0}^{+\infty} \frac{ln(x)}{x^3+2x^2+2x+1}dx + 2 \pi^3 i \)
\(\displaystyle = 2 \pi i \left\{Res \left[f; \frac{-1}{2}- i \frac{\sqrt{3}}{2} \right] + Res \left[f; \frac{-1}{2}+ i \frac{\sqrt{3}}{2}\right]\right\} \)
Il termine \(\displaystyle 2 \pi^3 i \) deriva dal lemma del piccolo cerchio applicato al punto di discontinuità \(\displaystyle -1 \) ma gli altri due integrali?
[EDIT]
per il 2) mi sono risposto da solo prestando un pò di attenzione in più..è semplicemente una somma tra gli integrali (che poi vengono spezzettati)..rimane tuttavia il dubbio relativo alla domanda 1)[/EDIT]
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