Sommabilità di una funzione
Dire per quali valori di $\alpha$ $in$ $RR$ la funzione $f(x)=(x-arctanx)/x^(\alpha)$ è sommabile in $(0, + oo)$.
Io ho iniziato così...
f è continua in $(0,+oo)$ $=>$ è Riemann integrabile in $[a,b]$ $AA [a,b] sub (0, +oo)$
per vedere se f è sommabile in $(0,1)$ bisogna vedere se è sommabile in un intorno di 0.
$int_0^1 f(x) dx = int_0^a f(x) dx + int_a^1 f(x) dx$
Il secondo integrale è integrale di Riemann perchè f è continua in $[a,1]$
Mi occupo del primo $f(x)=x/x^\alpha - arctgx/x^\alpha = x^(1-\alpha) - arctgx/x^\alpha \sim x^(1-\alpha)$
Sono giusti i passaggi??
Io ho iniziato così...
f è continua in $(0,+oo)$ $=>$ è Riemann integrabile in $[a,b]$ $AA [a,b] sub (0, +oo)$
per vedere se f è sommabile in $(0,1)$ bisogna vedere se è sommabile in un intorno di 0.
$int_0^1 f(x) dx = int_0^a f(x) dx + int_a^1 f(x) dx$
Il secondo integrale è integrale di Riemann perchè f è continua in $[a,1]$
Mi occupo del primo $f(x)=x/x^\alpha - arctgx/x^\alpha = x^(1-\alpha) - arctgx/x^\alpha \sim x^(1-\alpha)$
Sono giusti i passaggi??
Risposte
No.
Tieni conto che $\arctan(x) = x - \frac{x^3}{3} + o(x^3)$ per $x\to 0$.
Tieni conto che $\arctan(x) = x - \frac{x^3}{3} + o(x^3)$ per $x\to 0$.
Ma $arctg (0) =0$. No?
Sì.
Quindi la $f(x) \sim$ a cosa?
$\frac{x-[x- x^3/3 + o(x^3)]}{x^{\alpha}} = \frac{x^3/3 + o(x^3)}{x^{\alpha}}$.
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