Sommabilità di una funzione
Ciao, ho qualche problema con la sommabilità di una funzione. Ho a che fare con un esercizio del tipo:
Studiare nell'intervallo $ [1,+\infty[ $ la sommabilità della funzione $ F (x)=xlog(1+1/x^3) $ e, nel caso in cui è sommabile, calcolare $ int_(1)^(+\infty) F(x) dx $.
Ho allora pensato di fare $ lim_(x -> +\infty) (int_(1)^(x) tlog(1+1/t^3) dt ) $ e vedere se esiste finito. Dico bene?
Calcolando l'integrale mi viene: $ t^2/2log(1+1/t^3)+1/2log|t+1|+1/2log(t^2-t+1) $
Studiare nell'intervallo $ [1,+\infty[ $ la sommabilità della funzione $ F (x)=xlog(1+1/x^3) $ e, nel caso in cui è sommabile, calcolare $ int_(1)^(+\infty) F(x) dx $.
Ho allora pensato di fare $ lim_(x -> +\infty) (int_(1)^(x) tlog(1+1/t^3) dt ) $ e vedere se esiste finito. Dico bene?
Calcolando l'integrale mi viene: $ t^2/2log(1+1/t^3)+1/2log|t+1|+1/2log(t^2-t+1) $
Risposte
Se devi calcolare esplicitamente il valore allora l'unico modo è integrare, come hai fatto tu, anche se il risultato non mi sembra corretto.
Se invece ti interessa soltanto stabilire se sia sommabile, basta fare il confronto con la serie
\[ \sum_{n = 1}^{+ \infty} \ n \ \ln( 1 + \frac{1}{n^3} ) \] che è asintotica (lascio a te la conferma) alla serie armonica di grado 2. Quindi è sommabile.
Se invece ti interessa soltanto stabilire se sia sommabile, basta fare il confronto con la serie
\[ \sum_{n = 1}^{+ \infty} \ n \ \ln( 1 + \frac{1}{n^3} ) \] che è asintotica (lascio a te la conferma) alla serie armonica di grado 2. Quindi è sommabile.
Sapevo il contrario: se l'integrale è sommabile allora la serie converge. Quindi vale anche: la serie converge -> l'integrale è sommabile?
Si, vale anche l'implicazione contraria. Basta che pensi alla dimostrazione
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