Sommabilità di $sin x^2$

[aram1]

mi chiedo se $sin x^2$ è sommabile e quali criteri si usano per stabilirlo. Calcolandolo su Wolfram mi viene un numero finito ma dato che non è esprimibile in termini di funzioni elementari, come posso ricavare tale risultato? Grazie

[Nietzsche610]

In generale una funzione è $n-text{sommabile}$ in un intervallo $[a,b]$ se:

$\int_{a}^b|f(x)|^ndx<\infty$

Nel tuo caso specifico, la funzione è quadrato integrabile (sommabile) su $RR$ se:

$\int_{-\infty}^(+\infty)|sin(x^2)|^2dx<\infty$.

Spero di aver risposto alla tua domanda!

[gugo82]

"aram":mi chiedo se $ sin x^2 $ è sommabile e quali criteri si usano per stabilirlo. Calcolandolo su Wolfram mi viene un numero finito ma dato che non è esprimibile in termini di funzioni elementari, come posso ricavare tale risultato?

Attenzione ad usare gli aggettivi giusti... Sommabile non vuol dire "impropriamente integrabile".

Per studiare la sommabilità della funzione assegnata devi studiare la convergenza dell'integrale:
\[
\int_{-\infty}^\infty |\sin x^2|\ \text{d} x\; ;
\]
ma, data la parità dell'integrando, basta analizzare l'integrale:
\[
\int_0^\infty |\sin x^2|\ \text{d} x\; .
\]
Con una banale sostituzione si ottiene:
\[
\int_0^\infty |\sin x^2|\ \text{d} x \stackrel{t=x^2}{=} \frac{1}{2}\ \int_0^\infty \frac{|\sin t|}{\sqrt{t}}\ \text{d} t
\]
e si vede con pochi conti che l'integrale a destra non è finito.
Quindi la funzione \(\sin x^2\) non è sommabile in \([0,\infty[\), perché l'integrale del suo valore assoluto diverge.

Tuttavia, tale funzione è impropriamente integrabile in \([0,\infty[\), nel senso che esiste l'integrale improprio di Riemann:
\[
\int_0^\infty \sin x^2\ \text{d} x \; .
\]
Tale integrale, che si chiama integrale di Fresnel, si calcola con tecniche avanzate (cioé col metodo dei residui, in cui si ha a che fare con funzioni complesse) e non credo sia il caso di illustrarti come si fa.
Però, che l'integrale esista finito è una conseguenza di una generalizzazione integrale del criterio di convergenza di Dirichlet per le serie numeriche (che è a sua volta una generalizzazione dell'universalmente noto criterio di Leibniz per le serie alternate):

Siano \(a\in \mathbb{R}\) ed \(f,g:[a,\infty[\to \mathbb{R}\).
Se:

[list=1]
[*:1wm4jzya] \(f\) è limitata e decrescente in \([a,\infty[\),

[/*:m:1wm4jzya]
[*:1wm4jzya] \(\displaystyle \lim_{x\to \infty} f(x) =0\),

[/*:m:1wm4jzya]
[*:1wm4jzya] \(g\) è integrabile sui compatti contenuti in \([a,\infty[\) e la funzione \(G(x):=\int_a^x g(t)\ \text{d} t\) è limitata in \([a,\infty[\),
[/*:m:1wm4jzya][/list:o:1wm4jzya]
allora l'integrale improprio \(\int_a^\infty f(x)g(x)\text{d} x\) converge.

Tale criterio si applica dopo aver sostituito \(t=x^2\) come sopra.