Sommabilità di $f(x)$
Salve a tutti, dopo tanto tempo come lettore silente adesso anche io sono passato all'azione 
Spero possiate darmi una mano con un esercizio sulla sommabilità di funzione, il testo indica quanto segue:
Individuare i valori del parametro $\beta \in \mathbb{R}$ per cui risulta sommabile nell’intervallo $\left[-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}\right]$ la funzione
\begin{equation*} f(x)=\left(1-\cos (x^2) \right)^{\beta}\end{equation*}
La mia idea di svolgimento è la seguente:
in quanto la funzione $x^2$ risulta essere a simmetria pari nell'intervallo $\left[-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}\right]$, ho pensato di considerare solamente il sottointervallo $\left[0,\frac{\pi}{4}\right]$, e poichè la funzione $f(x)$ in tale sottointervallo risulta essere non negativa
\begin{equation*} \left| f(x) \right|= f(x) \qquad \forall x \in \left[0,\frac{\pi}{4}\right] \end{equation*}
considerando lo studio della sommabilità come se fosse uno studio di integrabilità...
Comunque, guardando la funzione definisco il problema ai limiti per $x\rightarrow 0^+$, per cui calcolo il limite definendo $\beta$
\begin{equation*} \lim_{x\rightarrow 0^+} \left(1-\cos (x^2) \right)^{\beta}=\begin{cases}1 & \beta \geq 0\\\infty & \beta<0\end{cases}\end{equation*}
Per $\beta \in \left[0,\infty)$ la funzione risulta essere sommabile...
Per $\beta \in \left(-\infty,0\right)$ è necessario calcolare l'integrale improprio...
Giusto?...
Quello che non riesco a capire ora, è come applicare i criteri di convergenza, tra cui quello del confronto asintotico con una funzione nota da cui la mia professoressa ha definito poi un corollario
Spero possiate aiutarmi a capire, grazie a tutti.
Spero possiate darmi una mano con un esercizio sulla sommabilità di funzione, il testo indica quanto segue:
Individuare i valori del parametro $\beta \in \mathbb{R}$ per cui risulta sommabile nell’intervallo $\left[-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}\right]$ la funzione
\begin{equation*} f(x)=\left(1-\cos (x^2) \right)^{\beta}\end{equation*}
La mia idea di svolgimento è la seguente:
in quanto la funzione $x^2$ risulta essere a simmetria pari nell'intervallo $\left[-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}\right]$, ho pensato di considerare solamente il sottointervallo $\left[0,\frac{\pi}{4}\right]$, e poichè la funzione $f(x)$ in tale sottointervallo risulta essere non negativa
\begin{equation*} \left| f(x) \right|= f(x) \qquad \forall x \in \left[0,\frac{\pi}{4}\right] \end{equation*}
considerando lo studio della sommabilità come se fosse uno studio di integrabilità...
Comunque, guardando la funzione definisco il problema ai limiti per $x\rightarrow 0^+$, per cui calcolo il limite definendo $\beta$
\begin{equation*} \lim_{x\rightarrow 0^+} \left(1-\cos (x^2) \right)^{\beta}=\begin{cases}1 & \beta \geq 0\\\infty & \beta<0\end{cases}\end{equation*}
Per $\beta \in \left[0,\infty)$ la funzione risulta essere sommabile...
Per $\beta \in \left(-\infty,0\right)$ è necessario calcolare l'integrale improprio...
Giusto?...
Quello che non riesco a capire ora, è come applicare i criteri di convergenza, tra cui quello del confronto asintotico con una funzione nota da cui la mia professoressa ha definito poi un corollario
Spero possiate aiutarmi a capire, grazie a tutti.
Risposte
$$Ciao m_arco,
Benvenuto sul forum!
Mi pare tu ti stia un po' complicando la vita, perché se ho ben capito devi calcolare
$\int_{-\pi/4}^{\pi/4} (1 - cos(x^2))^{\beta} \text{d}x = 2 \int_{0}^{\pi/4} (1 - cos(x^2))^{\beta} \text{d}x $
In $\pi/4 $ non ci sono problemi per la funzione integranda $\AA \beta \in \RR $; in $0$ invece sì, ma per un ben noto limite notevole si ha $1 - cos(x^2) $[tex]\sim[/tex] $x^4/2 $ per cui nessun problema se $\beta >= 0 $, mentre invece per $\beta < 0 $ si ha:
$ 2 \int_{0}^{\pi/4} (1 - cos(x^2))^{\beta} \text{d}x $ [tex]\sim[/tex] $ 2^{|\beta| + 1}\int_{0}^{\pi/4} 1/x^{4|\beta|} \text{d}x $
L'ultimo integrale scritto converge se $ 4|\beta| < 1 \iff |beta| < 1/4 $
Si conclude che la funzione proposta è sommabile nell'intervallo considerato per $\beta > - 1/4 $
"m_arco":
Salve a tutti, dopo tanto tempo come lettore silente adesso anche io sono passato all'azione
Benvenuto sul forum!
Mi pare tu ti stia un po' complicando la vita, perché se ho ben capito devi calcolare
$\int_{-\pi/4}^{\pi/4} (1 - cos(x^2))^{\beta} \text{d}x = 2 \int_{0}^{\pi/4} (1 - cos(x^2))^{\beta} \text{d}x $
In $\pi/4 $ non ci sono problemi per la funzione integranda $\AA \beta \in \RR $; in $0$ invece sì, ma per un ben noto limite notevole si ha $1 - cos(x^2) $[tex]\sim[/tex] $x^4/2 $ per cui nessun problema se $\beta >= 0 $, mentre invece per $\beta < 0 $ si ha:
$ 2 \int_{0}^{\pi/4} (1 - cos(x^2))^{\beta} \text{d}x $ [tex]\sim[/tex] $ 2^{|\beta| + 1}\int_{0}^{\pi/4} 1/x^{4|\beta|} \text{d}x $
L'ultimo integrale scritto converge se $ 4|\beta| < 1 \iff |beta| < 1/4 $
Si conclude che la funzione proposta è sommabile nell'intervallo considerato per $\beta > - 1/4 $
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