Sommabilità

[Gianky2]

Salve a tutti ho un dubbio sul seguente esercizio:
si studi la sommabilità al variare di $ alpha, beta, gamma $ la seguente funzione:
$ f(x)= (e^x-1)/(|x|^alpha|x+pi|^ gamma |x-2|^ sqrt(2)) $ in R.

Allora al finito, le singolarità sono 0 e $ pi $ e la f è sommabile per $ alpha <2, gamma <1 $.
All'infinito invece si ha
$ f(x)~ 1/(|x|^(alpha+gamma +sqrt(2)) $
Quindi è sommabile se $ alpha+gamma +sqrt(2) >1 $.

Dunque f è sommabile in R se valgono le due condizioni.

Adesso vengo al mio dubbio: il testo dell'esercizio mi dice che f è sommabile in R solo se vale la condizione per le singolarità al finito perchè all'infinito la f si comporta come $ f(x)= e^x/(|x|^(alpha+ gamma+ sqrt(2)) $ e quindi è infinitesima di ordine infinitamente grande ma non capisco il perchè dato che l'esponenziale è decrescente quindi non dovrebbe inficiare nello studio all'infinito. Qualcuno può aiutarmi?
Sostanzialmente non mi trovo con la stima asintotica all'infinito e vorrei avere delucidazioni sull'esponenziale nei diversi casi nello studio della sommabilità.
Grazie a tutti in anticipo

[Luca.Lussardi]

Sei certo del testo? $e^x$ cresce, non avrai mai alcuna sommabilità a $+\infty$, qualunque potenza metti al denominatore...