Sommabilità

[ludwigZero]

ciao a tutti
ho un dubbio che mi tormenta:

ho questa funzione:
$\int x^2n e^-(4\pi |x|) dx $ con $x \in (-oo,oo)$

è sommabile per $n> -1/2$ in quanto $|x^(2n) e^-(4\pi |x|)| <= |x^(2n)|$ quindi sotto l'integrale basta vedere per quali n è sommabile la sola $x^(2n)$ : $2n > -1$ e dunque $n> -1/2$

va bene?

[Raptorista1]

Immagino tu stia parlando di un intorno di \(0\), avendo già opportunamente sistemato la questione all'infinito. Dico bene?

[ludwigZero]

x^2n -> oo

[Raptorista1]

C'è solo da dire che la convergenza è abbastanza rapida da dare la sommabilità, poiché non basta che sia infinitesima.

[ludwigZero]

perchè $x^(2n)$ va più velocemente a 0 rispetto a $e^-k|x|$ , non vi è altro da aggiungere a riguardo?

[Raptorista1]

"ludwigZero":perchè $x^(2n)$ va più velocemente a 0 rispetto a $e^-k|x|$ , non vi è altro da aggiungere a riguardo?

In questa frase ci sono molte cose sbagliate.

[ludwigZero]

la condizione sufficiente perchè tale integrale converga è che la funzione integranda vada a 0 più rapidamente di $x^(2n)$
mentre la condizione necessaria è che l'integranda ammette limite all'infinito, così va meglio?

io per trovarmi la condizione su $n$ ho sfruttato il fatto che $e^-k|x|$ ha meno importanza di $x^(2n)$

[Raptorista1]

No. Non capisco se sei fuori strada o solo molto confusionario.
\(x^{2n}\) non è infinitesimo quando lo è \(e^{-k|x|}\), e viceversa.
Nel limite a \(\pm\infty\), l'esponenziale è infinitesimo e la potenza è infinita, ma l'esponenziale predomina per ogni \(n\) e determina la convergenza dell'integrale improprio a \(\pm\infty\). Questo è molto importante.
Chiaro?

[ludwigZero]

$n \in (-1/2,0)$ non va proprio preso in considerazione, giusto?

[Raptorista1]

"ludwigZero":quindi per $x->+\- oo$ l'integrale $\int_{-oo}^{+oo} f_n(x) dx < + oo$ per ogni $n$

Questa scrittura è priva di senso.
\(x\) è la variabile dell'integranda, quindi non puoi prenderne il limite!
Ciò che puoi - e dovresti - fare è invece
\[
\lim_{t \to + \infty} \int_a^t f_n(x) \ dx
\]
e
\[
\lim_{u \to - \infty} \int_u^b f_n(x) \ dx
\]
dove \(a\) e \(b\) sono valori "belli", cioè tali che l'integrale non è improprio in \([a,t]\) o in \([u,b]\).
È molto importante che tu capisca questa cosa, quindi richiedimela se non ti è chiara.

Risolto questo, fai la stessa cosa con gli altri punti in cui l'integrale è improprio. Se ce ne sono.

Su \(n\), se è naturale allora devi considerare solo numeri naturali.

[ludwigZero]

$a$ e $b$ come li scelgo?

[Raptorista1]

Dalle domande che mi fai, credo che tu debba rivedere per bene la teoria prima di andare avanti, perché evidentemente ti mancano delle conoscenze chiave.