Somma serie geometrica a segni alterni.
Serie geometrica a segni alterni.
Salve a tutti ragazzi, ho la sequente serie:
$ sum_(n = \1)^(oo) (-1)^n/(n+1)x^((n+1)/2 $
pongo $ y=sqrt(x) $ ed ottengo $ sum_(n = \1)^oo (-1)^n/(n+1)y^(n+1) $
questo altro non è che $ int_()^()sum_(n = \1)^oo (-1)^ny^n $
Direi che la serie converge in $y in (-1,1)$ quindi $x in (0,1)$ ma ho un pò di dubbi sulla somma.
infatti la serie geometrica converge $1/(1-y)$, quindi mi verrebbe da dire che la somma è: $ int_()^() 1/(1-y) = -log(1-y) $
ma in questo modo ho completamente ignorato il fatto che la serie sia a segni alterni! Come cambia l'esercizio (in particolar modo nel calcolare la somma) sapendo che la serie geometrica è a segni alterni?
Salve a tutti ragazzi, ho la sequente serie:
$ sum_(n = \1)^(oo) (-1)^n/(n+1)x^((n+1)/2 $
pongo $ y=sqrt(x) $ ed ottengo $ sum_(n = \1)^oo (-1)^n/(n+1)y^(n+1) $
questo altro non è che $ int_()^()sum_(n = \1)^oo (-1)^ny^n $
Direi che la serie converge in $y in (-1,1)$ quindi $x in (0,1)$ ma ho un pò di dubbi sulla somma.
infatti la serie geometrica converge $1/(1-y)$, quindi mi verrebbe da dire che la somma è: $ int_()^() 1/(1-y) = -log(1-y) $
ma in questo modo ho completamente ignorato il fatto che la serie sia a segni alterni! Come cambia l'esercizio (in particolar modo nel calcolare la somma) sapendo che la serie geometrica è a segni alterni?
Risposte
attenzione è una serie di potenze ma non è una serie geometrica
la serie geometrica è tipo
$1+x+x^2+..+x^n+.........$
quindi,studia la serie come fai di solito con una generica serie di potenze
la serie geometrica è tipo
$1+x+x^2+..+x^n+.........$
quindi,studia la serie come fai di solito con una generica serie di potenze
Ok, grazie per l'appunto, però con la somma proprio non riesco a venirne a capo. 
Mi sapresti dare un'indicazione?
Mi sapresti dare un'indicazione?
Io avrei scritto la serie così:
$$\sum_{n=2}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}{n} y^n=\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}{n} y^n-y=\log(1+y)-y$$
ricordando che $\log(1+t)=\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{n} t^n$. Se proprio vuoi usare l'integrazione, dovresti fare questo a mio parere: detta
$$f(y)=\sum_{n=1}^\infty \frac{(1-)^n}{n+1} y^{n+1}$$
allora osserviamo che (usando il fatto che $\sum_{n=1}^\infty q^n=\sum_{n=0}^\infty q^n-1=\frac{1}{1-q}-1$)
$$f(y)=\int_0^y\sum_{n=1}^\infty (-1)^n t^n\ dt=\int_0^y\sum_{n=1}^\infty (-t)^n\ dt=\int_0^y\left[\frac{1}{1-(-t)}-1\right]\ dt=\\ \left[\log(1+t)-t\right]_0^y=\log(1+y)-y$$
$$\sum_{n=2}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}{n} y^n=\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}{n} y^n-y=\log(1+y)-y$$
ricordando che $\log(1+t)=\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{n} t^n$. Se proprio vuoi usare l'integrazione, dovresti fare questo a mio parere: detta
$$f(y)=\sum_{n=1}^\infty \frac{(1-)^n}{n+1} y^{n+1}$$
allora osserviamo che (usando il fatto che $\sum_{n=1}^\infty q^n=\sum_{n=0}^\infty q^n-1=\frac{1}{1-q}-1$)
$$f(y)=\int_0^y\sum_{n=1}^\infty (-1)^n t^n\ dt=\int_0^y\sum_{n=1}^\infty (-t)^n\ dt=\int_0^y\left[\frac{1}{1-(-t)}-1\right]\ dt=\\ \left[\log(1+t)-t\right]_0^y=\log(1+y)-y$$
Grazie Ciampax, la prima strategia risolutiva é molto più veloce. Sei stato molto gentile nell'espormele entrambe.
In realtà ce n'è una "terza": sempre con le notazioni di prima, puoi scrivere
$$f'(y)=\sum_{n=1}^\infty (-1)^n y^n=\sum_{n=1}^\infty (-y)^n=\frac{1}{1+y}-1$$
A questo punto, integrando e osservando che $f(0)=0$ si ha la funzione cercata.
$$f'(y)=\sum_{n=1}^\infty (-1)^n y^n=\sum_{n=1}^\infty (-y)^n=\frac{1}{1+y}-1$$
A questo punto, integrando e osservando che $f(0)=0$ si ha la funzione cercata.
Ancora meglio 
ma sei un bijoux!
ma sei un bijoux!
No, sono un assassino psicopatico! 
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