Somma serie di potenze
dovrei calcolare la somma di questa serie di potenze
$\sum_{n=0}^\infty (n+1)/(n+2) * y^n$
la mia idea è quella di dividere in due parti la serie per poi ricondurmi agli sviluppi di taylor delle principali funzioni oppure a serie geometriche.
Il problema è che ho molti dubbi su come fare, qualcuno mi spiega come fare a dividere e come comportarsi con gli indici una volta "spezzata" la serie?
$\sum_{n=0}^\infty (n+1)/(n+2) * y^n$
la mia idea è quella di dividere in due parti la serie per poi ricondurmi agli sviluppi di taylor delle principali funzioni oppure a serie geometriche.
Il problema è che ho molti dubbi su come fare, qualcuno mi spiega come fare a dividere e come comportarsi con gli indici una volta "spezzata" la serie?
Risposte
Basta notare che [tex]$\tfrac{n+1}{n+2}=1-\tfrac{1}{n+2}$[/tex]...
"gugo82":
Basta notare che [tex]$\tfrac{n+1}{n+2}=1-\frac{1}{n+2}$[/tex]...
ah grazie, pensavo ci fosse una regola in particolare da seguire per le serie.
in pratica la mia serie diventa:
$\sum_{n=0}^\infty (n+1)/(n+2)*y^n = \sum_{n=0}^\infty y^n - \sum_{n=0}^\infty y^n/(n+2)$
per il primo non ci sono problemi dato che è una serie geometrica e so che la sua somma vale $y/(1+y)$ se l'indice parte da 0.
Il problema è il secondo, quello che mi viene in mente ora è di modificare l'indice in modo tale da usare l'integrazione per serie, ggiusto? O sono completamente fuoristrada?
"Lokad":
Il problema è il secondo, quello che mi viene in mente ora è di modificare l'indice in modo tale da usare l'integrazione per serie, ggiusto? O sono completamente fuoristrada?
Giusto, giusto... Ora fai i conti.
La somma della prima serie è $y/(1-y)$ se $|y| < 1 $.
"Camillo":
La somma della prima serie è $y/(1-y)$ se $|y| < 1 $.
pardon
Comunque, mi sono bloccato.
Piu' che altro è perchè c'è quel n+2 che mi blocca.
Io per usare l'integrazione per serie al denominatore dovrei avere (usando lo stesso indice n=0) n per applicare il teorema.
Scusate mi è vennuto il mal di testa, potrebbe essere banale, ma non ci sto arrivando
nessuno?
ecco dove mi blocco
$\sum_{n=0}^\infty (y^n)/(n+2)=1/y^2 *\sum_{n=0}^\infty (y^n+2)/(n+2)=1/y^2*\sum_{n=2}^\infty (y^n)/(n)$
il problema è che io mi voglio ricondurre allo sviluppo di $-ln(1-y)$ ma la serie dovrebbe partire da 1 invece che da 2, come faccio a cambiare?
ecco dove mi blocco
$\sum_{n=0}^\infty (y^n)/(n+2)=1/y^2 *\sum_{n=0}^\infty (y^n+2)/(n+2)=1/y^2*\sum_{n=2}^\infty (y^n)/(n)$
il problema è che io mi voglio ricondurre allo sviluppo di $-ln(1-y)$ ma la serie dovrebbe partire da 1 invece che da 2, come faccio a cambiare?
Il problema è calcolare [tex]\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n+2}\ y^n[/tex], se non ho capito male.
Allora, moltiplicando e dividendo per [tex]$y^2$[/tex] si ottiene:
[tex]$\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n+2}\ y^n =\frac{1}{y^2} \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n+2}\ y^{n+2}$[/tex],
quindi basta determinare la somma della serie a secondo membro, cioè [tex]\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n+2}\ y^{n+2}[/tex]; evidentemente detta [tex]$g(y)$[/tex] la somma di tale serie, si ha:
[tex]$g^\prime (y)=\sum_{n=0}^{+\infty} y^{n+1} =y\sum_{n=0}^{+\infty} y^n =\frac{y}{1-y}$[/tex]
ergo, dato che dall'espressione in serie per [tex]$g(y)$[/tex] si trae [tex]$g(0)=0$[/tex], integrando con [tex]$y\in ]-1,1[$[/tex] si trova:
[tex]$g(y)=\int_0^y g(t)\ \text{d} t=\int_0^y \frac{t}{1-t}\ \text{d} t=-y+\int_0^t\frac{1}{1-t}\ \text{d} t=-y-\ln (1-y)$[/tex];
pertanto:
[tex]$\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n+2}\ y^n =-\frac{1}{y^2} [y+\ln (1-y)]$[/tex].
Oppure, per seguire la strada che volevi percorrere tu, la [tex]$g(y)$[/tex] si poteva determinare riconducendosi alla serie del logaritmo: infatti cambiando l'indice e sommando e sottraendo il termine che manca, si ha:
[tex]$g(y)=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n+2}\ y^{n+2} = \sum_{n=2}^{+\infty} \frac{1}{n}\ y^{n} = -y+\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n}\ y^{n} =-y-\ln (1-y)$[/tex].
Ad ogni modo, mettendo tutto insieme, è:
[tex]$\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{n+1}{n+2}\ y^n =\sum_{n=0}^{+\infty} y^n -\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n+2}\ y^n =\frac{1}{1-y}+\frac{y+\ln (1-y)}{y^2}$[/tex].
Allora, moltiplicando e dividendo per [tex]$y^2$[/tex] si ottiene:
[tex]$\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n+2}\ y^n =\frac{1}{y^2} \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n+2}\ y^{n+2}$[/tex],
quindi basta determinare la somma della serie a secondo membro, cioè [tex]\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n+2}\ y^{n+2}[/tex]; evidentemente detta [tex]$g(y)$[/tex] la somma di tale serie, si ha:
[tex]$g^\prime (y)=\sum_{n=0}^{+\infty} y^{n+1} =y\sum_{n=0}^{+\infty} y^n =\frac{y}{1-y}$[/tex]
ergo, dato che dall'espressione in serie per [tex]$g(y)$[/tex] si trae [tex]$g(0)=0$[/tex], integrando con [tex]$y\in ]-1,1[$[/tex] si trova:
[tex]$g(y)=\int_0^y g(t)\ \text{d} t=\int_0^y \frac{t}{1-t}\ \text{d} t=-y+\int_0^t\frac{1}{1-t}\ \text{d} t=-y-\ln (1-y)$[/tex];
pertanto:
[tex]$\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n+2}\ y^n =-\frac{1}{y^2} [y+\ln (1-y)]$[/tex].
Oppure, per seguire la strada che volevi percorrere tu, la [tex]$g(y)$[/tex] si poteva determinare riconducendosi alla serie del logaritmo: infatti cambiando l'indice e sommando e sottraendo il termine che manca, si ha:
[tex]$g(y)=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n+2}\ y^{n+2} = \sum_{n=2}^{+\infty} \frac{1}{n}\ y^{n} = -y+\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n}\ y^{n} =-y-\ln (1-y)$[/tex].
Ad ogni modo, mettendo tutto insieme, è:
[tex]$\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{n+1}{n+2}\ y^n =\sum_{n=0}^{+\infty} y^n -\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n+2}\ y^n =\frac{1}{1-y}+\frac{y+\ln (1-y)}{y^2}$[/tex].
tutto chiaro gugo, grazie mille 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo