Somma serie di potenze

[duff18-votailprof]

Trovare la somma della serie:
[tex]$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-2)^{3n} - 7^n}{n5^n}\big(x+ \frac{5}{8}\big)^n[/tex]
Io ho risolto spezzando in due la serie e ho portato dentro parantesi le frazioni elevate $n$, ottenendo come somma:

[tex]$-\log{(1+(\frac{8}{5}x +1))}- \log(1+(\frac{7}{5}x + \frac {7}{8}))[/tex]

giusto ?

[ciampax]

Hai provato a vedere cosa accade se sviluppi in serie il risultato che hai ottenuto?

[duff18-votailprof]

Se lo sviluppo è centrato in [tex]$x = - \frac{5}{8}[/tex] sembrerebbe tutto ok

[ciampax]

Mmmmm... pongo [tex]$t=x+\frac{5}{8}$[/tex] per cui

[tex]$\sum_{n=1}^\infty \frac{(-2)^{3n}-7^n}{n 5^n} t^n=\sum_{n=1}^\infty\frac{(-8t/5)^n}{n}-\sum_{n=1}^\infty\frac{(7t/5)^n}{n}$[/tex]

Ora, dal momento che

[tex]$\log(1+y)=-\sum_{n=1}^\infty\frac{(-y)^n}{n}$[/tex]

io direi che

[tex]$\sum_{n=1}^\infty \frac{(-2)^{3n}-7^n}{n 5^n} t^n=-\log\left(1+\frac{8}{5} t\right)+\log\left(1-\frac{7}{5} t\right)=\log\left(\frac{5-7t}{5+8t}\right)=\log\left(\frac{5-56x}{8(10+8x)}\right)$[/tex]

[duff18-votailprof]

ops si avevo confuso due segni nel secondo logaritmo, grazie
il risultato finale dovrebbe essere: [tex]$\log \left( \frac{5-56x}{8 (10 + 8x)}\right)[/tex]

[ciampax]

No no, il risultato è quello che ho scritto io, fidati!

[duff18-votailprof]

Proprio non capisco

[tex]$\left(\frac{5-7t}{5+8t}\right)=\left( \frac{5-7(x+\frac{5}{8})}{5 +8 (x +\frac{5}{8}) )}\right) = \left( \frac{5-7x-\frac{35}{8}}{5 +8x +5}\right) =\left( \frac{5-56x}{8 (10 + 8x)}\right)[/tex]

[ciampax]

Aaaaaaaaaaaaaaahhhhhhhhhhhhh............ ma tu ce l'avevi con il 56!!!
Scusa, non so perché, pensavo ad altro... sì sì, viene 56 lì! (correggo)

[duff18-votailprof]

Figurati grazie ancora per il tuo aiuto!

[ciampax]

Prego... e scusami per il "rincoglionimento" finale... ma ad una certa età, capita!