Somma serie di potenze
Calcolare la somma della seguente serie di potenze:
$ sum_(n >= 1)(-1)^n*n*x^(2n-1) $
Allora, io ho provato a considerare la serie delle derivate che viene quindi:
$ 1/xsum_(n >= 1)(-1)^n*n*(2n-1)x^(2n-1) $
però, qui mi blocco...come posso proseguire?
$ sum_(n >= 1)(-1)^n*n*x^(2n-1) $
Allora, io ho provato a considerare la serie delle derivate che viene quindi:
$ 1/xsum_(n >= 1)(-1)^n*n*(2n-1)x^(2n-1) $
però, qui mi blocco...come posso proseguire?
Risposte
(1) $S_n=-x+2x^3-3x^5+4x^7-5x^9+....+(-1)^{n-1}(n-1)x^{2n-3}+(-1)^n nx^{2n-1} $
Moltiplico per $x^2$:
(2) $x^2S_n=-x^3+2x^5-3x^7+4x^9+....+(-1)^{n-1}( n-1)x^{2n-1}+(-1)^n nx^{2n+1}$
Sommo (1) e (2) :
$(1+x^2)S_n=[-x+x^3-x^5+x^7-x^9+...+(-1)^n x^{2n-1}]+ (-1)^n nx^{2n+1} $
La somma in parentesi quadre è quella di una progressione geometrica di ragione $-x^2$ e di primo termine $-x$ e quindi per formule note:
$(1+x^2)S_n=-x\cdot {1-(-x^2)^n}/{1-(-x^2)}+ (-1)^n nx^{2n+1}$
Da qui la formula finale per $S_n $:
$S_n=-x\cdot {1-(-x^2)^n}/{(1+x^2)^2}+(-1)^n n {x^{2n+1}}/{1+x^2}$
Moltiplico per $x^2$:
(2) $x^2S_n=-x^3+2x^5-3x^7+4x^9+....+(-1)^{n-1}( n-1)x^{2n-1}+(-1)^n nx^{2n+1}$
Sommo (1) e (2) :
$(1+x^2)S_n=[-x+x^3-x^5+x^7-x^9+...+(-1)^n x^{2n-1}]+ (-1)^n nx^{2n+1} $
La somma in parentesi quadre è quella di una progressione geometrica di ragione $-x^2$ e di primo termine $-x$ e quindi per formule note:
$(1+x^2)S_n=-x\cdot {1-(-x^2)^n}/{1-(-x^2)}+ (-1)^n nx^{2n+1}$
Da qui la formula finale per $S_n $:
$S_n=-x\cdot {1-(-x^2)^n}/{(1+x^2)^2}+(-1)^n n {x^{2n+1}}/{1+x^2}$
L'ipotesi $|x|<1$ non è contenuta nella consegna ( anche se è probabile). D'altra parte se non è $|x|<1$ la derivazione termine a termine cade e allora che ti fò ? L'unica cosa possibile è appunto cercare di calcolare la somma parziale
n-esima $S_n$ e poi discutere il passaggio al limite per $n->\oo$
n-esima $S_n$ e poi discutere il passaggio al limite per $n->\oo$
Grazie mille a tutti (:
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