Somma serie di potenze

[gbspeedy]

devo calcolare $f(x)=sum_(n=1)^(+oo) x^n/(n(n+1))$

ho calcolato $f^{\prime}(x)=sum_(n=1)^(+oo) x^(n-1)/(n+1)=sum_(n=2)^(+oo) x^(n-2)/n=1/x^2 sum_(n=2)^(+oo) x^n/n=1/x^2

[sum_(n=1)^(+oo) x^n/n-x]$

ora $sum_(n=2)^(+oo) x^n/n=-log(1-x)$ e ottengo $f^{\prime}(x)=1/x^2[-log(1-x)-x]$

integrando: $f(x)=(1/x-1)log(1-x)+C$

come tolgo la costante additiva?

[ciampax]

Puoi vedere quanto vale $f(1)$ (la serie di potenze diventa la classica serie di Mengoli, per cui la somma è...)

[gbspeedy]

la somma della serie di Mengoli è $1$
il $lim_(x->1-) f(x)=C$ e quindi $C=1$

se ho $f(x)=sum_(n=1)^(+oo) nx^n/((n-1)!) = xsum_(n=0)^(+oo) (n+1)x^(n)/(n!)$

ora posso spezzare $f(x)=x[sum_(n=0)^(+oo) nx^(n)/(n!)+sum_(n=0)^(+oo) x^(n)/(n!)]$

$f(x)$ è la somma delle somme delle due serie?

[ciampax]

Mmmmmm, non ti conviene mai fare queste cose, perché prima dovresti imporre un bel po' di condizioni sulla convergenza uniforme e via discorrendo. Io invece osserverei che $f(x)=x\cdot g'(x)$ dove $g(x)=\sum_{n=0}^\infty {x^{n+1}}/{n!}$ per cui...

[gbspeedy]

posso calcolare $\int f(x)$ per parti?

[ciampax]

Ma perché vuoi ammazzare i passeri con le bombe termonucleari? $g(x)$ dovrebbe essere facile da scrivere, non ti pare?

[gbspeedy]

$g(x)=xe^x$

se invece avessi $\sum n^2 x^n/((n-1)!)$ posso usare lo stesso ragionamento?

[ciampax]

Bé sì, io sono sempre per l'idea di fare questo tipo di manipolazioni (shift degli indici di sommatoria, moltiplicare per potenze della $x$, cercare di riportare la serie a qualcosa di noto attraverso sostituzioni della variabile, ecc...) piuttosto che decomporre la serie o operare calcoli come derivazioni e/o integrazioni sulla funzione stessa (che spesso possono farti perdere tempo inultilmente).