Somma serie

[Dalfi1]

Ciao ragazzi, ho ancora bisogno del vostro aiuto per una dimostrazione...sapete dirmi dove posso trovare la dimostrazione della seguente serie?

$ sum_(n = 1) ((-1)^(n+1))/n = ln 2 $

grazie infinite

[Seneca1]

Hai presente com'è fatto lo sviluppo in serie della funzione [tex]$\log( x + 1 )$[/tex]?

[Giuly191]

Guarda che la somma di quella serie è $-log2$.
Considera la serie di funzioni $ S(x)= sum_(n = 1)^(+oo) x^n/n $, la sua derivata è $ S'(x)= sum_(n = 1)^(+oo) x^(n-1) = sum_(m=0)^(+oo) x^m = 1/(1-x) $ per $x in (-1,1)$.
Quindi $ S(x)=int S'(x)dx=int 1/(1-x)dx = -log(1-x) $ e quindi $S(-1)=-log2$.

[Dalfi1]

se non erro dovrebbe essere

$ sum_(n = 1) (-1)^(n+1) (x^n)/n $

scusate avevo sbagliato a scrivere la serie...ora ho corretto

edit: non ditemi che è cosi semplice O.o

allora io voglio calcolare

$ sum_(n = 1) ((-1)^(n+1))/n $ e so che $ log (1+x) = sum_(n = 1) (-1)^(n+1) (x^n)/n $

affinchè $ sum_(n = 1) ((-1)^(n+1))/n = sum_(n = 1) (-1)^(n+1) (x^n)/n $ basta porre $ x=1 $ da cui segue facilmente che $ sum_(n = 1) ((-1)^(n+1))/n = log2 $

è davvero così facile? O.O

[salvozungri]

A dire il vero, di mezzo c'è anche il teorema di Abel. Lo avete fatto a lezione?

[Dalfi1]

"Mathematico":A dire il vero, di mezzo c'è anche il teorema di Abel. Lo avete fatto a lezione?

purtroppo no ...ma va bene come ho fatto io?

[salvozungri]

Sì e no, nel senso che se non avete fatto il teorema di abel, allora la somma di quella serie non può essere giustificata a dovere. Con questo non sto dicendo che sia errata, anzi.

[Dalfi1]

"Mathematico":Sì e no, nel senso che se non avete fatto il teorema di abel, allora la somma di quella serie non può essere giustificata a dovere. Con questo non sto dicendo che sia errata, anzi.

va bene grazie mille