Somma Serie

[LoneFellow]

Avendo la serie
$ sum (2^n-1)/(n!)$
Con $n$ nell intervalo $0 , +oo$
La somma di dovrebbe essere $e^2-e$
Qualcuno mi mostrerebbe come? Sto diventando pazzo qua , so che non dovrebbe essere dificile , ma qualcosa sfuge >< .

[Seneca1]

Sotto opportune ipotesi: $ sum (2^n-1)/(n!) = sum 2^n/(n!) - sum 1/(n!) = e^2 - e$ ,
dato che $e^x = sum_0 x^n/(n!)$ .

[Zero87]

Prima di tutto devi assicurarti che la serie sia convergente, altrimenti non puoi "spezzarla": in questo caso non è difficile, poiché, per ogni $n$ fissato,
$\frac{2^n -1}{n!}<\frac{2^n}{n!}$,
e il resto potresti concluderlo tu .

Una volta fatto questo, puoi "spezzare" la somma al numeratore
$\sum_(n=0)^\infty \frac{2^n -1}{n!}= \sum_(n=0)^\infty (\frac{2n}{n!}-\frac{1}{n!})=\sum_(n=0)^\infty \frac{2^n}{n!}-\sum_(n=0)^\infty \frac{1}{n!}$,
nella prima pensa allo sviluppo in serie di Taylor per la $e$, nella seconda idem.

EDIT. Acc... Mi sono pestato i piedi con Seneca ... Scherzi a parte, ho visto dopo della risposta.

[LoneFellow]

VOlete vuoi dirmi, che se non faccio uno svilluppo non ce la faccio?
Potete entrare un pocò di più nel dettaglio?

[Noisemaker]

Anzitutto devi ricordare che la somma di una serie la puoi calcolare veramente iin casi estremamente fortunati, nel senso che sappiamo calcolare le somme solo di particolari serie, tipo le serie telescopiche, le serie geometriche e la serie esponenziale. Detto ciò, ti faccio un altro esempio, visto che il tuo l'hanno già risolto, cosi magari ti potrà chiarire:

Determinare il carattere della serie e calcolarne eventualmente la somma :

\begin{align*} \sum_{n=2}^\infty\,\,\frac{2^{n-2} }{n!3^{n+2}}\end{align*}

ti metto la soluzione in spoiler, in caso tu voglia cimentarti!

La serie è evidentemente a termini positivi e con termine generale infinitesimo; allora applicando il criterio del rapporto otteniamo:
\begin{align*}
\sum_{n=2}^\infty\,\,\frac{2^{n-2} }{n!3^{n+2}}\stackrel{Ratio}{\Longrightarrow} & \lim_{n \to +\infty}\frac{2^{n -1}}{(n+1)!\cdot3^{n+3}}\cdot\frac{n!3^{n+2}}{2^{n-2}}=\lim_{n \to +\infty}\frac{2^{n}\cdot2^{ -1}}{n!(n+1) \cdot3^{n}\cdot3^{3}}\cdot\frac{n!\cdot3^{n }\cdot3^{2}}{2^{n}\cdot2^{-2}} \\
&\lim_{n \to +\infty}\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{n+1}=0 \end{align*}
dunque la serie data converge per il criterio del rapporto. Ora dobbiamo calcolare la somma: allora, ricordando che:
\begin{align*} e^{x}=\sum_{n=0}^\infty\,\frac{x^{n}}{n!}=\frac{x^{0}}{0!}+\frac{x^{1}}{1!}+\frac{x^{2}}{2!}+\cdots+\frac{x^{n}}{n!},\,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\end{align*}
abbiamo che la serie la possiamo scrivere come:
\begin{align*}
\sum_{n=2}^\infty\,\,\frac{2^{n-2} }{n!3^{n+2}} =\sum_{n=2}^\infty\frac{2^n \cdot 2^{-2}}{n! 3^{n}\cdot 3^2 }=\frac{1}{36}\cdot\sum_{n=2}^\infty\,\,\left(\frac{2}{3}\right)^n\cdot\frac{1}{n!} =\sum_{n=2}^\infty\frac{ \left(\frac{2}{3}\right)^n}{n! }
\end{align*}
poichè l'indice di sommatoria parte da $2,$ e non da $0$ , nello sviluppo manca il termine $ \frac{\frac{2}{3}^{0} }{0!}+\frac{\frac{2}{3}^{1} }{1!}=1+\frac{2}{3}=\frac{5}{3};$ allora si conclude che:
\begin{align*}
\sum_{n=2}^\infty\,\,\frac{2^{n-2} }{n!\cdot3^{n+2}} =\frac{1}{36}\cdot \left(e^{\frac{2}{3}}-\frac{5}{3}\right)
\end{align*}

[LoneFellow]

Perfetto, mi sa che mi manca un pezzo di toeria .
Grazie ^^ .