Somma e somma parziale
Ciao a tutti, ho un piccolo dubbio per quanto riguarda appunto la somma e somma parziale di una serie.
So bene che la somma parziale è la somma dei primi n termini della successione di termine generale a_n.
Il problema viene con il concetto di somma, nel senso, cosa si intende per somma? Il dubbio sta proprio nel fatto che una somma infinita non ha senso, e dunque quando ad esempio nei teoremi come quello di CONVERGENZA PER LE SERIE ALTERNATE ritrovo: ...detta s la somma, s_n la ridotta n-sima, si ha $ |s_n-s| <=a_(n+1) $ proprio non so che significato dare a quella s.
La mia ipotesi è che s sia la somma parziale s_n con n grande e quindi infinito, ovvero in parole povere s è il limite per n che tende ad infinito di s_n. È giusto? Grazie a tutti in anticipo!
So bene che la somma parziale è la somma dei primi n termini della successione di termine generale a_n.
Il problema viene con il concetto di somma, nel senso, cosa si intende per somma? Il dubbio sta proprio nel fatto che una somma infinita non ha senso, e dunque quando ad esempio nei teoremi come quello di CONVERGENZA PER LE SERIE ALTERNATE ritrovo: ...detta s la somma, s_n la ridotta n-sima, si ha $ |s_n-s| <=a_(n+1) $ proprio non so che significato dare a quella s.
La mia ipotesi è che s sia la somma parziale s_n con n grande e quindi infinito, ovvero in parole povere s è il limite per n che tende ad infinito di s_n. È giusto? Grazie a tutti in anticipo!
Risposte
In presenza di una topologia che permetta di darglielo, tante somme infinite hanno senso: data una successione $(a_n)$ di elementi di un monoide topologico commutativo $(M,+)$, ovvero una funzione \(a_\bullet : \mathbb N\to M\), si dice che "la serie di termine generale $a_n$ converge" se la successione \(S_N := \sum_{k=k0}^N a_k\) converge in $M$.
Non ne capisco il senso. Ad esempio nella dimostrazione della condizione necessaria di convergenza di una serie, con s viene indicata appunto questa "somma", si vede bene che con quel s viene indicato proprio il passaggio a limite.
La mia domanda allora diventa, nel caso si trattasse di una somma infinita, cosa rappresenta la notazione precedente?
La mia domanda allora diventa, nel caso si trattasse di una somma infinita, cosa rappresenta la notazione precedente?
Il limite di una successione, te l'ho detto 
la topologia ti permette di dare senso a somme infinite.
la topologia ti permette di dare senso a somme infinite.
Il limite della successione somme parziali intendi?
Oh madonna, sì! Te l'ho già detto due volte! 
Ma era quello che ho supposto dall'inizio! 
C'è stato un errore di comprensione. Ad ogni modo grazie mille! 
C'è stato un errore di comprensione. Ad ogni modo grazie mille!
@Papercut: per come poni la questione hai ragione, non puoi dire che \(s\) è la somma di una serie senza avere prima dimostrato che tale somma esiste, ovvero, che esista il limite delle somme parziali (come dice k.b.). È a questo che serve il criterio di convergenza di Cauchy e il criterio di convergenza delle successioni monotone: per prima cosa uno verifica, usando uno di questi criterio, che la somma esiste. E poi può farci quello che vuole con la somma.
Nel caso delle serie alternate, si può usare il criterio delle successioni monotone, perché le somme parziali hanno l'estratta pari crescente e quella dispari decrescente (o al contrario, a seconda del segno del primo termine). E quindi entrambe ammettono limite. Poi bisogna dimostrare che i due limiti sono uguali e che è l'intera successione delle somme parziali a convergere, non solo le estratte pari e dispari. Fatto questo, si è dimostrato che la somma esiste, la si può chiamare \(s\) (come in quello che stai leggendo) e stimarla come si crede.
Nel caso delle serie alternate, si può usare il criterio delle successioni monotone, perché le somme parziali hanno l'estratta pari crescente e quella dispari decrescente (o al contrario, a seconda del segno del primo termine). E quindi entrambe ammettono limite. Poi bisogna dimostrare che i due limiti sono uguali e che è l'intera successione delle somme parziali a convergere, non solo le estratte pari e dispari. Fatto questo, si è dimostrato che la somma esiste, la si può chiamare \(s\) (come in quello che stai leggendo) e stimarla come si crede.
Grazie mille, chiarissimo
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