Somma e prodotto di funzioni caratteristiche

[nello_1981]

Ciao, piccolo dubbio su funzioni caratteristiche:
1)"Somma": se ho due funzioni caratteristiche, del tipo $ chi [0,1], chi [alpha, alpha+1] $ e ne voglio calcolare la somma, sarà $ chi [0,1] + chi [alpha, alpha+1] = chi [alpha, alpha+1] $ perchè tanto $ chi [0,1] sub chi [alpha, alpha+1] $ per $ alpha = 0 $, giusto?
2)"Prodotto": se voglio calcolare per quali valori di $ alpha rArr chi [0,1] * chi [alpha, alpha+1] = 0 hArr { ( alpha > 1 ), ( alpha+1 < 0 ) :} hArr |alpha| > 1 $, giusto?

[_prime_number]

La 1) dipende da $\alpha$. Il tuo ragionamento non mi sembra corretto.
Ad esempio, se $\alpha=0$ allora $\chi_{\[ 0,1\]}+\chi_{\[\alpha,\alpha+1\]}=2\chi_{\[0,1\]}$, ma se $\alpha=1$ quella somma è pari a $\chi_{\[0,2\]}(x)$ per ogni $x\ne 1$, 2 se $x=1$.
2) è corretto.

Paola

[Sk_Anonymous]

Paola ha ragione, devi discutere:

$[alpha<-1] vv [alpha>1] rarr chi[0,1]+chi[alpha,alpha+1]=chi[[0,1]uu[alpha, alpha+1]]$

$[-1<=alpha<=0] rarr chi[0,1]+chi[alpha,alpha+1]=chi[alpha,0[+2chi[0,alpha+1]+chi]alpha+1,1]$

$[0<=alpha<=1] rarr chi[0,1]+chi[alpha,alpha+1]=chi[0,alpha[+2chi[alpha,1]+chi]1,alpha+1]$

[nello_1981]

Grazie ragazzi!
Un'ultima cosa: nel secondo caso(prodotto) quando $ -1

Cita

Segnala

[dissonance]

Nello ma te lo fai un disegnino? Se no, fallo: il grafico di una funzione caratteristica è facile. Poi vedendo il grafico capisci subito come risolvere questi problemi.

[nello_1981]

hai ragione, effettivamente con i disegnini sono abbastanza una c......a.
Però mi sono imbattuto in una magia strana...tutte queste domande si sono materializzate da un esercizio che chiede di trovare prima la convoluzione tra due funzioni caratteristiche $ chi*chi[-1/2,1/2] $, così per la definizione di convoluzione ho trovato che

$ chi*chi[-1/2,1/2] = int_{R} chi (x-t)[-1/2,1/2] chi (t)[-1/2,1/2] dt = int_{R} chi (-t)[x-1/2,x+1/2] chi (t)[-1/2,1/2] dt $

che essendo la funzione caratteristica pari allora

$ int_{R} chi (-t)[x-1/2,x+1/2] chi (t)[-1/2,1/2] dt = int_{R} chi (t)[x-1/2,x+1/2] chi (t)[-1/2,1/2] dt $

qui subentra la moltiplicazione tra funzioni caratteristiche (finora penso di aver fatto bene, giusto?) che ovviamente dà sempre una funzione caratteristica ma con dilatazione variabile a secondo del valore della x (la dilatazione diminusce col aumentare del valore della x ed è massima con la x uguale a zero). Ora, se non ho preso grandi abbagli penso che dovrebbe venire

${(int_{-1/2}^{x+1/2}dx,ifx<0),(int_{x-1/2}^{1/2}dx,ifx>0),(int_{-1/2}^{1/2}dx,ifx=0):}$ $rArr$ ${(x+1/4,ifx<0),(1/4-x,ifx>0),(1,ifx=0):}$

Invece magicamente dal libro esce che $ chi*chi[-1/2,1/2] $ è uguale alla funzione triangolare che vale zero in $ R-[-1,1] $, 1 in zero ed è lineare in $ [-1,0] $ e $ [0,1] $, cioè:

$ f(x) = {(x+1,if -1<=x<0),(1-x,if 0

[dissonance]

Dai un'occhiata qua:

http://www.jhu.edu/signals/convolve/

[gugo82]

Apro e chiudo una piccola parentesi.

La convoluzione \(f*g\) di due funzioni \(f,g\) entrambe a supporto compatto è anch'essa una funzione a supporto compatto.
Infatti per definizione si ha:
\[
f*g(x) := \int_{-\infty}^\infty f(y)\ g(x-y)\ \text{d} y = \int_{\operatorname{supp} f} f(y)\ g(x-y)\ \text{d} y = \int_{\operatorname{supp} f \cap (x-\operatorname{supp} g)} f(y)\ g(x-y)\ \text{d} y
\]
ove \(\operatorname{supp} f\) è il supporto di \(f\) ed \(x-\operatorname{supp} g\) è il traslato dell'insieme \(-\operatorname{supp} g:=\{ -z,\ z\in \operatorname{supp} g\}\).

Ora, dato che \(\operatorname{supp} f, \operatorname{supp} g\) sono compatti, essi sono anche limitati; perciò, quando si prende \(x\) molto grande in valore assoluto, si ha certamente \(\operatorname{supp} f \cap (x-\operatorname{supp} g) =\varnothing\), sicché l'integrale di convoluzione è nullo.
Ne viene che il supporto della convoluzione, se non vuoto, è un chiuso limitato, ossia che è compatto.

[nello_1981]

Grazie mille ragazzi, davvero chiarissimi.
E per il link http://www.jhu.edu/signals/ una sola espressione: WOW