Somma e Intersezione Sottospazi

[IlMareVerticale]

Ciao a tutti ragazzi!! Ho un problema riguardante un esercizio su un sottospazio... il testo è il seguente :

Trovare le equazioni cartesiani e basi di
V, W, V+W, VintersezioneW
con
V=
W=

ma intanto ho due domande (che si sono banali, però nel dubbio chiedo) :
1) Quando lavoro con la matrice associata posso spostare i vettori per poter agevolare i conti?
2) Quando lavoro con la matrice per ridurla a gradini posso dividere tutta una riga per un numero e lasciarla cosi, o altero il vettore? Se ad esempio io ho una riga della matrice come 0,2,4,8 devo lasciarla cosi o posso dividerla per 2?
Grazie intanto...

Quindi ho provato a svolgerlo..

1) Base di V, ho messo i vettorinella matrice (per riga) e l'ho ridotta a gradini... una base ottenuta è $
2) Equazioni di V, ho messo i vettori nella matrice (per colonna) aggiungendo il vettore $ [x,y,z,t] $ ridotta a scala ed ho ottenuto l'equazione $ (7x+7y+3z+3t)/3 $
3) Base di W, come punto 1 ed ho ottenuto la base $$
4) Equazioni di W, come punto 2 ed ho ottenuto $-x-y+z+w=0$
5) Base di V+W, ho messo le due basi trovate in una matrice (per riga) e l'ho ridotta a scala ottenendo $
6) Equazioni di V+W e qui mi blocco.. faccio come il passo 2 con le basi trovate nel passo 5, ma non mi si azzera nessuna riga...anzi, ottengo la matrice identica con delle equazioni vicino... come procedo?

I conti credo siano giusti perchè li ho controllati al pc... forse sbaglio perchè ho cambiato l'ordine dei vettori e divisi? E' qui l'errore?
Poi volevo chiedervi se esiste un metodo (o un programma non so) per controllare questi esercizi.... grazie mille anticipate

Aggiunto 23 ore 5 minuti più tardi:

Ciao! Intano ringrazio entrambi per l'accurata e paziente risposta e per aver sciolto i miei dubbi!!
I procedimenti da me adottati sono analoghi a quelli descritti da ciampax (e questo mi rincuora già molto...)...
Il problema nasceva nel provare a trovare le equazioni cartesianne di U+W.. in quanto mettendo le due basi singole sopra trovate in una matrice, aggiungendo un vettore [x,y,z,w] (io uso questo metodo, ma è analogo al tuo) e riducendo a scala non mi si eliminava nessuna riga... anzi veniva proprio la matrice identica... questo proprio per il fatto che tu mi dicevi? Cioè per il fatto che U+W ha dimensione 4?
Altrimenti se avesse avuto ad esempio dimensione 3 si sarebbe dovuta azzerare una riga giusto?
Ti ringrazio ancora per la disponibilità e per i chiarimenti...!

[adry105]

Da quel che mi ricordo Le operazione possibili sulle matrici sono Tre:

1) Puoi moltiplicare una intera riga (o colonna) per uno scalare diverso da zero,
2) Scambiare due righe (o colonne) di posto,
3) Sostituire una riga ( o colonna) con la somma di un multiplo di un'altra riga (o colonna) eCCo :D

Aggiunto 30 secondi più tardi:

Per trovare le basi di uno spazio vettoriale, da quel che mi ricorso, visto che i vettori li hai scritti per riga, consideri la matrice associata allo spazio vettoriale per riga. A questo punto riduci a scala la matrice, i vettori che trovi sono le basi del tuo spazio vettoriale, ovviamente se trovi due vettori uguali o multipli tra loro ne devi considerare solamente uno dei due!

Poi penso che la somma sia data dall'unione delle basi dei singoli spazi, cioè se hai due basi per ogni spazio, l'unione è data dalle 4 basi! Se hai basi uguali o multiple le puoi togliere, cioè ne consideri solamente 1!.. è come dire due rette individuano un piano! La loro somma/unione dà un piano! Poi non so :P

E poi l'intersezione è data dalle basi uguali!

Premetto che non mi ricordo nulla di niente assolutamente, ci sono andaro a ragionamento ma può essere che abbia detto tantisssssssime cavolate =)

[ciampax]

Rispondo prima alle due curiosità:

1) come diceva adry, le operazioni da lui citate sono quelle lecite. Per quanto riguarda lo spostare i vettori (righe o colonne) puo farlo, stando attento però a modificare anche la forma del vettore dei termini noti a seconda delle operazioni che fai.

2) anche in questo caso, puoi effettuare queste operazioni, stando attento ad applicarle a tutti gli elementi su cui agisci.

Passiamo all'esercizio:

[math]V=\\
W=[/math]

Le matrici associate sono rispettivamente

[math]M_V=\left(\begin{array}{cccc}
2 & -5 & 3 & 4\\ 1 & 2 & 0 & -7\\ 3 & -6 & 2 & 5
\end{array}\right)\qquad\qquad M_W=\left(\begin{array}{cccc}
2 & 0 & -4 & 6\\ 1 & 1 & 1 & 1\\ 3 & 3 & 1 & 5
\end{array}\right)[/math]

che puoi ridurre come

[math]M_V=\left(\begin{array}{cccc}
1 & 2 & 0 & -7\\ 0 & -9 & 3 & 18\\ 0 & -12 & 2 & 26
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}
1 & 2 & 0 & -7\\ 0 & 3 & -1 & -6\\ 0 & 0 & 1 & -1
\end{array}\right)\qquad\qquad M_W=\left(\begin{array}{cccc}
1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & -2 & -6 & 4 \\ 0 & 0 & -2 & 2
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}
1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 3 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & -1
\end{array}\right)[/math]

Per cui hai le basi

[math]B_V=\{(1\ 2\ 0\ 7),\ (0\ 3\ -1\ -6),\ (0\ 0\ 1\ -1)\}\\
B_W=\{(1\ 1\ 1\ 1),\ (0\ 1\ 3\ -2),\ (0\ 0\ 1\ -1)\}[/math]

Questo ti dice che

[math]V,W[/math]

sono sottospazi di dimensione 3 di uno spazio vettoriale di dimensione 4.

Per determinare l'equazione cartesiana (che deve essere 1 sola in quanto la codimensione è 1) basta prendere una equazione lineare a quattro incognite e sostituire i vettori della base. Ad esempio

[math]ax+by+cz+dt=0[/math]

con la sostituzione si ha

[math]a+2b+7d=0,\qquad 3b-c-6d=0,\qquad c-d=0[/math]

e quindi per l'equazione di V

[math]d \cdot\left(\frac{35}{3} x+\frac{7}{3} y+z+t \right)=0[/math]

e ponendo

[math]d=3[/math]

[math]35x+7y+3z+3t=0[/math]

Allo stesso modo trovi per W

[math]a+b+c+d=0,\qquad b+3c-2d=0,\qquad c-d=0[/math]

[math]d(-x-y+z+t)=0[/math]

e ponendo

[math]d=-1[/math]

si ha

[math]x+y-z-t=0[/math]

Per determinare l'intersezione, basta risolvere il sistema formato dalle deu equazioni precedenti. Si ha

[math]\left\{\begin{array}{l}
35x+7y+3z+3t=0\\ x+y-z-t=0
\end{array}\right.[/math]

da cui moltiplicando la seconda per 3 e sommando membro a membro hai

[math]\left\{\begin{array}{l}
38x+10y=0\\ x+y-z-t=0
\end{array}\right.[/math]

per cui la soluzione è

[math]y=-\frac{19}{5}\, x,\qquad t=-\frac{14}{5}\, x-z[/math]

per cui sostituendo una volta

[math]x=0,z=1[/math]

e un'altra

[math]x=5, z=0[/math]

ottieni la base dell'intersezione

[math](0\ 0\ 1\ -1)\qquad (5\ -19\ 0\ -14)[/math]

che risulta uno spazio vettoriale di dimensione 2.

Per determinare la somma, osserva che dalla formula di Grasmann

[math]\dim(V+W)=\dim V+\dim W-\dim(V\cap W)[/math]

segue

[math]\dim(V+W)=3+3-2=4[/math]

il che vuol dire che

[math]V+W[/math]

è un sottospazio vettoriale di dimensione 4 di uno spazio di dimensione 4. Quindi

[math]V+W[/math]

coincide con tutto lo spazio ed una sua base è quella canonica.